三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案

時(shí)間：2022-06-02 09:29:58

三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案

三角函數(shù)復(fù)習(xí)教案

　　【摘要】歡迎來(lái)到數(shù)學(xué)網(wǎng)高三數(shù)學(xué)教案欄目，教案邏輯思路清晰，符合認(rèn)識(shí)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。本文題目：高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：三角函數(shù)總復(fù)習(xí)教學(xué)案

　　高考導(dǎo)航

　　考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.

　　2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

　　3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y=sin x， y=cos x ， y=tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.

　　4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在(- , )上的單調(diào)性.

　　5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1 ， =tan x.

　　6.了解函數(shù)y=Asin(x+)的物理意義，能畫出函數(shù)y=Asin(x+)的圖象，了解參數(shù)A，，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.

　　7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

　　8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).

　　9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題，能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用;2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y=Asin(x+)

　　(0)的性質(zhì)、圖象及變換;3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題;4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運(yùn)算能力;5.正、余弦定理及應(yīng)用.

　　本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系;2.靈活運(yùn)用三角公式化簡(jiǎn)、求值、證明; 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法;4.探索兩角差的余弦公式;5.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在高考中主要考查對(duì)三角函數(shù)概念的理解;運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問(wèn)題往往與其他知識(shí)(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.

　　知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

　　5.1 任意角的三角函數(shù)的概念

　　典例精析

　　題型一象限角與終邊相同的角

　　【例1】若是第二象限角，試分別確定2、的終邊所在的象限.

　　【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?/p>

　　所以k 360+90

　　因?yàn)?k 360+18022k 360+360(kZ)，故2是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.

　　因?yàn)閗 180+452

　　當(dāng)k=2n(nZ)時(shí)，n 360+452

　　當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí)，n 360+2252

　　所以2是第一或第三象限角 .

　　【點(diǎn)撥】已知角所在象限，應(yīng)熟練地確定2所在象限.

　　如果用1、2、3、4分別表示第一、二、三、四象限角，則12、22、32、42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問(wèn)題就方便多了.

　　【變式訓(xùn)練1】若角2的終邊在x軸上方，那么角是()

　　A.第一象限角 B.第一或第二象限角

　　C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角

　　【解析】由題意2k22k，kZ，

　　得k

　　當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.

　　當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，是第一象限角.故選C.

　　題型二弧長(zhǎng)公式，面積公式的應(yīng)用

　　【例2】已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R.

　　(1)若=60，R=10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積;

　　(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C0)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值?并求出這個(gè)最大值.

　　【解析】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，

　　因?yàn)?603，R=10 cm，所以l=103 cm，

　　S弓=S扇-S=1210103-12102sin 60=50(3-32) cm2.

　　(2)因?yàn)镃=2R+l=2R+R，所以R=C2+，

　　S扇=12R2=12(C2+)2=C22 2+4+4=C22 1+4+4C216，

　　當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，即=2(=-2舍去)時(shí)，扇形的面積有最大值為C216.

　　【點(diǎn)撥】用弧長(zhǎng)公式l= || R與扇形面積公式S=12lR=12R2||時(shí)，的單位必須是弧度.

　　【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)C有最小值?并求出最小值.

　　【解析】因?yàn)镾=12Rl，所以Rl=2S，

　　所以周長(zhǎng)C=l+2R22Rl=24S=4S，

　　當(dāng)且僅當(dāng)l=2R時(shí)，C=4S，

　　所以當(dāng)=lR=2時(shí)，周長(zhǎng)C有最小值4S.

　　題型三三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用

　　【例3】(1)已知角的終邊與函數(shù)y=2x的圖象重合，求sin (2)求滿足sin x32的角x的集合.

　　【解析】(1)由交點(diǎn)為(-55，-255)或(55，255 )，

　　所以sin =255.

　　(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)(0，32)，過(guò)該點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對(duì)應(yīng)的角.

　　②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.

　　③寫集合：所求角x的集合是{x|2k32k3，kZ}.

　　【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問(wèn)題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡(jiǎn)潔、直觀.

　　【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y=lg sin x+cos x-12的定義域?yàn)?

　　【解析】

　　所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2k

　　總結(jié)提高

　　1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.

　　2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k3603的錯(cuò)誤書寫.

　　3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.

　　5.2 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式

　　典例精析

　　題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題

　　【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將視為銳角后，再判斷所求角的象限.

　　【變式訓(xùn)練1】已知f(x)=1-x，4，)，則f(sin 2)+f(-sin 2)=.

　　【解析】f(sin 2)+f(-sin 2)=1-sin 2+1+sin 2=(sin -cos )2+(sin +cos )2=|sin -cos |+|sin +cos |.

　　因?yàn)?，)，所以sin -cos 0，sin +cos 0.

　　所以|sin -cos |+|sin +cos |=sin -cos -sin -cos =-2cos .

　　題型二三角函數(shù)式的求值問(wèn)題

　　【例2】已知向量a=(sin ，cos -2sin )，b=(1,2).

　　(1)若a∥b，求tan 的值;

　　(2)若|a|=|b|，0，求的值.

　　【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以2sin =cos -2sin ，

　　于是4sin =cos ，故tan =14.

　　(2)由|a|=|b|知，sin2+(cos -2sin )2=5，

　　所以1-2sin 2+4sin2=5.

　　從而-2sin 2+2(1-cos 2)=4，即sin 2+cos 2=-1，

　　于是sin(24)=-22.

　　又由0知，244，

　　所以24=54或24=74.

　　因此2或=34.

　　【變式訓(xùn)練2】已知tan =12，則2sin cos +cos2等于()

　　A.45 B.85 C.65 D.2

　　【解析】原式=2sin cos +cos2sin2+cos2=2tan +11+tan2=85.故選B.

　　題型三三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題

　　【例3】已知-2

　　(1)sin x-cos x的值;

　　(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)的值.

　　【解析】(1)由已知得2sin xcos x=-2425，且sin x0

　　所以sin x-cos x=-(sin x-cos x)2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.

　　(2)sin3(2-x)+cos3(2+x)=cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x)

　　=75(1-1225)=91125.

　　【點(diǎn)撥】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin xcos x取值符號(hào).

　　【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)1-cos4-sin41-cos6-sin6.

　　【解析】原式=1-[(cos2+sin2)2-2sin2cos2]1-[(cos2+sin2)(cos4+sin4-sin2cos2)]

　　=2sin2cos21-[(cos2+sin2)2-3sin2cos2]=23.

　　總結(jié)提高

　　1.對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中同角的含義，只要是同一個(gè)角，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(-2)+cos2(-2)=1是恒成立的.

　　2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.

　　5.3 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)

　　典例精析

　　題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

　　【例1】化簡(jiǎn) (0).

　　【解析】因?yàn)?，所以022，

　　所以原式=

　　= =-cos .

　　【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將化成2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin22-cos22=-cos .

　　【變式訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)2cos4x-2cos2x+122tan(4-x)sin2(4+x).

　　【解析】原式=12(2cos2x-1)22tan(4-x)cos2(4-x)=cos22x4cos(4-x)sin(4-x)=cos22x2sin(2-2x)=12cos 2x.

　　題型二三角函數(shù)式的求值

　　【例2】已知sin x2-2cos x2=0.

　　(1)求tan x的值;

　　(2)求cos 2x2cos(4+x)sin x的值.

　　【解析】(1)由sin x2-2cos x2=0tan x2=2，所以tan x= =221-22=-43.

　　(2)原式=cos2x-sin2x2(22cos x-22sin x)sin x

　　=(cos x-sin x)(cos x+sin x)(cos x-sin x)sin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=(-34)+1=14.

　　【變式訓(xùn)練2】2cos 5-sin 25sin 65= .

　　【解析】原式=2cos(30-25)-sin 25cos 25=3cos 25cos 25=3.

　　題型三已知三角函數(shù)值求解

　　【例3】已知tan(-)=12，tan =-17，且，(0，)，求2-的值.

　　【解析】因?yàn)閠an 2(-)=2tan(-)1-tan2(-)=43，

　　所以tan(2-)=tan[2(-)+]=tan2(-)+tan 1-tan 2(-)tan =1，

　　又tan =tan[(-)+]=tan(-)+tan 1-tan(-)tan =13，

　　因?yàn)?0，)，所以04，

　　又，所以-2-0，所以2-=-34.

　　【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.

　　【變式訓(xùn)練3】若與是兩銳角，且sin(+)=2sin ，則與的大小關(guān)系是()

　　A.= B.

　　C. D.以上都有可能

　　【解析】方法一：因?yàn)?sin =sin(+1，所以sin 12，又是銳角，所以30.

　　又當(dāng)=30，=60時(shí)符合題意，故選B.

　　方法二：因?yàn)?sin =sin(+)=sin cos +cos sin

　　所以sin

　　又因?yàn)椤⑹卿J角，所以，故選B.

　　總結(jié)提高

　　1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.

　　(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題;

　　(2)對(duì)公式會(huì)正用、逆用、變形使用

　　(3)掌握角的演變規(guī)律，如2=(+)+(-)等.

　　2.通過(guò)運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.

　　5.4 三角恒等變換

　　典例精析

　　題型一三角函數(shù)的求值

　　【例1】已知04，04，3sin =sin(2+)，4tan 2=1-tan22，求+的值.

　　【解析】由4tan 2=1-tan22，得tan = =12.

　　由3sin =sin(2+)得3sin[(+)-]=sin[(+)+]，

　　所以3sin(+)cos -3cos(+)sin =sin(+)cos +cos(+)sin ，

　　即2sin(+)cos =4cos(+)sin ，所以tan(+)=2 tan =1.

　　又因?yàn)椤?0，4)，所以+4.

　　【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的主要過(guò)程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.

　　【變式訓(xùn)練1】如果tan(+)=35，tan(4)=14，那么tan(4)等于()

　　A.1318 B.1322 C.723 D.318

　　【解析】因?yàn)?=(+)-(4)，

　　所以tan(4)=tan[(+)-(4)]=tan(+)-tan(4)1+tan(+)tan(4)=723.

　　故選C.

　　題型二等式的證明

　　【例2】求證：sin sin =sin(2+)sin -2co s(+).

　　【證明】證法一：

　　右邊=sin [(+)+]-2cos(+)sin sin =sin(+)cos -cos(+)sin sin

　　=sin [(+)-]sin =sin sin =左邊.

　　證法二：sin(2+)sin -sin sin =sin(2+)-sin sin =2cos(+)sin sin =2cos(+)，

　　所以sin(2+)sin -2cos(+)=sin sin .

　　【點(diǎn)撥】證法一將2+寫成(+)+，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算;證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用變更問(wèn)題法證明，簡(jiǎn)捷而新穎.

　　【變式訓(xùn)練2】已知5sin =3sin(-2)，求證：tan(-)+4tan =0.

　　【證明】因?yàn)?sin =3sin(-2)，所以5sin[(-)+]=3sin[(-)-]，

　　所以5sin(-)cos +5cos(-)sin =3sin(-)cos -3cos(-)sin ，

　　所以2sin(-)cos +8cos(-)sin =0.

　　即tan(-)+4tan =0.

　　題型三三角恒等變換的應(yīng)用

　　【例3】已知△ABC是非直角三角形.

　　(1)求證：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;

　　(2)若AB且tan A=-2tan B，求證：tan C=sin 2B3-cos 2B;

　　(3)在(2)的條件下，求tan C的最大值.

　　【解析】(1)因?yàn)镃=-(A+B)，

　　所以tan C=-tan(A+B)=-(tan A+tan B)1-tan Atan B，

　　所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，

　　即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

　　(2)由(1)知tan C=-(tan A+tan B)1-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=

　　=sin 2B2(2-1+cos 2B2)=sin 2B3-cos 2B.

　　(3)由(2)知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B122=24，

　　當(dāng)且僅當(dāng)2tan B=1tan B，即tan B=22時(shí)，等號(hào)成立.

　　所以tan C的最大值為24.

　　【點(diǎn)撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運(yùn)用來(lái)解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，要有較明確的目標(biāo)意識(shí).

　　【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.

　　【解析】由已知得tan B+tan C=3(1-tan Btan C)，

　　3(tan A+tan B)=-(1-tan Atan B)，

　　即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.

　　所以tan(B+C)=3，tan(A+B)=-33.

　　因?yàn)?

　　又A+B+C=，故A=23，B=C=6.

　　所以△ABC是頂角為23的等腰三角形.

　　總結(jié)提高

　　三角恒等式的證明，一般考慮三個(gè)統(tǒng)一：①統(tǒng)一角度，即化為同一個(gè)角的三角函數(shù);②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù);③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.

　　5.5 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　典例精析

　　題型一三角函數(shù)的周期性與奇偶性

　　【例1】已知函數(shù)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2.

　　(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

　　(2)令g(x)=f(x+3)，判斷g(x)的奇偶性.

　　【解析】(1)f(x)=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sin(x2+3)，

　　所以f(x)的最小正周期T=2.

　　(2)g(x)=f(x+3)=2sin[12(x+3]=2sin(x2+2)=2cos x2.

　　所以g(x)為偶函數(shù).

　　【點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題，常常要化簡(jiǎn)三角函數(shù).

　　【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于()

　　A.2 C.3

　　【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=22(22sin 2x-22cos 2x)+12

　　=22sin(2x-4)+12，所以T=2.故選B.

　　題型二求函數(shù)的值域

　　【例2】求下列函數(shù)的值域：

　　(1)f(x)=sin 2xsin x1-cos x;

　　(2)f(x)=2cos(3+x)+2cos x.

　　【解析】(1)f(x)=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x(1-cos2x)1-cos x=2cos2x+2cos x

　　=2(cos x+12)2-12，

　　當(dāng)cos x=1時(shí)，f(x)max=4，但cos x1，所以f(x)4，

　　當(dāng)cos x=-12時(shí)，f(x)min=-12，所以函數(shù)的值域?yàn)閇-12，4).

　　(2)f(x)=2(cos 3cos x-sin 3sin x)+2cos x

　　=3cos x-3sin x=23cos(x+6)，

　　所以函數(shù)的值域?yàn)閇-23，23].

　　【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，分析函數(shù)式的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析，是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵.

　　【變式訓(xùn)練2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.

　　【解析】令t=sin x+cos x，則有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.

　　所以y=f(t)=t+t2-12=12(t+1)2-1.

　　又t=sin x+cos x=2sin(x+4)，所以-22.

　　故y=f(t)=12(t+1)2-1(-22)，

　　從而f(-1)f(2)，即-12+12.

　　所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2+12].

　　題型三三角函數(shù)的單調(diào) 性

　　【例3】已知函數(shù)f(x)=sin(x+0，|)的部分圖象如圖所示.

　　(1)求，

　　(2)設(shè)g(x)=f(x)f(x-4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

　　【解析】(1)由圖可知，T=4(4)=，=2T=2.

　　又由f(2)=1知，sin()=1，又f(0)=-1，所以sin =-1.

　　因?yàn)閨，所以2.

　　(2)f(x)=sin(2x-2)=-cos 2x.

　　所以g(x)=(-cos 2x)[-cos(2x-2)]=cos 2xsin 2x=12sin 4x.

　　所以當(dāng)2k22k2，即k8k8(kZ)時(shí)g(x)單調(diào)遞增.

　　故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[k8，k8](kZ).

　　【點(diǎn)撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.

　　【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y=sin(6-2x)(x[0，])為增函數(shù)的區(qū)間是()

　　A.[0，3] B.[12，712]

　　C.[3，56] D.[5]

　　【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減的原則判定，選C.

　　總結(jié)提高

　　1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.

　　2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.

　　3.求三角函數(shù)的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對(duì)值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?

　　4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱性.

　　5.6 函數(shù)y=Asin(x+ )的圖象和性質(zhì)

　　典例精析

　　題型一五點(diǎn)法作函數(shù)圖象

　　【例1】設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+3cos x(0)的周期為.

　　(1)求它的振幅、初相;

　　(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象;

　　(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.

　　【解析】(1)f(x)=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+3)，

　　又因?yàn)門=，所以2=，即=2，所以f(x)=2sin(2x+3)，

　　所以函數(shù)f(x)=sin x+3cos x(0)的振幅為2，初相為3.

　　(2)列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如圖所示.

　　(3)把y=sin x圖象上的所有點(diǎn)向左平移3個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(x+3)的圖象，再把

　　y=sin(x+3)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin(2x+3)的圖象，然后把y=sin(2x+3)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)=2sin(2x+3)的圖象.

　　【點(diǎn)撥】用五點(diǎn)法作圖，先將原函數(shù)化為y=Asin(x+0，0)形式，再令x+=0，，32，2求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.

　　【變式訓(xùn)練1】函數(shù)

　　的圖象如圖所示，則()

　　A.k=12，=12，6

　　B.k=12，=12，3

　　C.k=12，=2，6

　　D.k=-2，=12，3

　　【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k=12.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T=4(83)=4，故=12.將點(diǎn)(53，0)代入解析式y(tǒng)=2sin(12x+)，得123+，kZ，所以-56，kZ.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.

　　題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與值域

　　【例2】已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xsin(x+2)+2cos2x，xR(0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6.

　　(1)求的值;

　　(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.

　　【解析】(1)f(x)=32sin 2x+12cos 2x+32=sin(2x+6)+32.

　　令2x+2，將x=6代入可得=1.

　　(2)由(1)得f(x)=sin(2x+6)+32，經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)=sin(12x-6)+32，

　　當(dāng)x=4k，kZ時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值52.

　　令2k26+32，

　　即[4k3，4k](kZ)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

　　【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.

　　【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y=2sin(3x+)的圖象向右平移4個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱，則||的最小值是()

　　A.3 C.2 D.34

　　【解析】將函數(shù)y=2sin(3x+)的圖象向右平移4個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin[3(x-]=2sin(3x-3)的圖象.

　　因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱，所以2sin(33-3)=2sin()=0，

　　故有=kZ)，解得-4(kZ).

　　當(dāng)k=0時(shí)，||取得最小值4，故選A.

　　題型三三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

　　【例3】已知函數(shù)y=f(x)=Asin2(x+0，0,02)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)(1,2).

　　(1)求

　　(2)求f(1)+f(2)++f(2 008).

　　【解析】(1)y=Asin2(x+)=A2-A2cos(2x+2)，

　　因?yàn)閥=f(x)的最大值為2，又A0，

　　所以A2+A2=2，所以A=2，

　　又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，0，

　　所以122=2，所以4.

　　所以f(x)=22-22cos(2x+2)=1-cos(2x+2)，

　　因?yàn)閥=f(x)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以cos()=-1.

　　所以=2k(kZ)，

　　解得+4(kZ)，

　　又因?yàn)?2，所以4.

　　(2)方法一：因?yàn)?，

　　所以y=1-cos(2)=1+sin 2x，

　　所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4，

　　又因?yàn)閥=f(x)的周期為4,2 008=4502.

　　所以f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008.

　　方法二：因?yàn)閒(x)=2sin2()，

　　所以f(1)+f(3)=2sin2()+2sin2(3)=2，

　　f(2)+f(4)=2sin2()+2sin2()=2，

　　所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，

　　又因?yàn)閥=f(x)的周期為4,2 008=4502.

　　所以f(1)+f(2)++f(2 008)=4502=2 008.

　　【點(diǎn)撥】函數(shù)y=Acos(x+)的對(duì)稱軸由x+，可得x=k，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問(wèn)題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.

　　【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=Acos2 x+2(A0，0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)+f(4)+f(6)++f(20)=.

　　【解析】f(x)=Acos2x+2=A1+cos 2x2+2=Acos 2x2+A2+2，則由題意知A+2=6，2=8，所以A=4，8，所以f(x)=2cos 4x+4，所以f(2)=4，f(4)=2，f(6)=4，f(8)=6，f(10)=4，觀察周期性規(guī)律可知f(2)+f(4)++f(20)=2(4+2+4+6)+4+2=38.

　　總結(jié)提高

　　1.用五點(diǎn)法作y=Asin(x+)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令x+=0，，32，2，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整x+的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.

　　2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長(zhǎng)度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無(wú)論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.

　　3.在解決y=Asin(x+)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將x+視為一個(gè)整體x后再與基本函數(shù)

　　y=sin x的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.

　　5.7 正弦定理和余弦定理

　　典例精析

　　題型一利用正、余弦定理解三角形

　　【例1】在△ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.

　　(1)求sin A的值;(2)求的值.

　　【解析】(1)由cos C=34得sin C=74.

　　所以sin A=BC sin CAB=1742=148.

　　(2)由(1)知，cos A=528.

　　所以cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C

　　=-15232+7232=-24.

　　所以 = ( + )= +

　　=-1+12cos B=-1-12=-32.

　　【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).

　　【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2+b2-c24，則C= .

　　【解析】S=a2+b2-c24=12absin C.

　　所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1，

　　又(0，)，所以4.

　　題型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題

　　【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2A=sin(3+B)sin(3-B)+sin2B.

　　(1)求角A的值;

　　(2)若 =12，a=27，求b，c(其中b

　　【解析】(1)因?yàn)閟in2A=(32cos B+12sin B)(32cos B-12sin B)+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34，所以sin A=32.又A為銳角，所以A=3.

　　(2)由 =12可得cbcos A=12.①

　　由( 1)知A=3，所以cb=24.②

　　由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A，將a=27及①代入得c2+b2=52.③

　　③+②2，得(c+b)2=100，所以c+b=10.

　　因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的兩個(gè)根.

　　又b

　　【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力.

　　【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2a-c)cos B=

　　bcos C.

　　(1)求角B的大小;

　　(2)若b=7，a+c=4，求△ABC的面積.

　　【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得

　　a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，

　　代入(2a-c)cos B=bcos C，

　　整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，

　　即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，

　　在△ABC中，sin A0,2cos B=1，

　　因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以B=60.

　　(2)在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B

　　=(a+c)2-2ac-2ac cos B，

　　將b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.

　　故S△ABC=12acsin B=32sin 60=334.

　　題型三正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

　　【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3+3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距203海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?

　　【解析】由題意知AB=5(3+3)(海里)，DBA=90-60=30，DAB=90-45=45，所以ADB=180-(45+30)=105.

　　在△DAB中，由正弦定理得DBsinDAB=ABsinADB，

　　所以DB= =

　　= =53(3+1)3+12=103(海里).

　　又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60，BC=203海里，

　　在△DBC中，由余弦定理得

　　CD2=BD2+BC2-2BD BC cosDBC=300+1 200-210320312=900，

　　所以CD=30(海里)，則需要的時(shí)間t=3030=1(小時(shí)).

　　所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).

　　【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是：

　　(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形;

　　(2)確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系;

　　(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解;

　　(4)給出結(jié)論.

　　【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).

　　【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin(90-)=msin(-)，解得BM=mcos sin(-)，要使船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90)=mcos cos sin(-n.所以與的關(guān)系滿足mcos cos nsin(-)時(shí)，船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).

　　總結(jié)提高

　　1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角AB與sin Asin B是一種等價(jià)關(guān)系.

　　2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會(huì)漏解.

　　3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.

　　5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

　　典例精析

　　題型一利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題

　　【例1】如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值.

　　【解析】如圖，連接AP，過(guò)P作PMAB于M.

　　設(shè)PAM=，02，

　　則PM=90sin ，AM=90cos ，

　　所以PQ=100-90cos ，PR=100-90sin ，

　　于是S四邊形PQCR=PQPR

　　=(100-90cos )(100-90sin )

　　=8 100sin cos -9 000(sin +cos )+10 000.

　　設(shè)t=sin +cos ，則12，sin cos =t2-12.

　　S四邊形PQCR=8 100t2-12-9 000t+10 000

　　=4 050(t-109)2+950 (12).

　　當(dāng)t=2時(shí)，(S四邊形PQCR)max=14 050-9 0002 m2;

　　當(dāng)t=109時(shí)，(S四邊形PQCR)min=950 m2.

　　【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sin cos ，sin cos 的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sin cos =t，把sin cos 用t表示，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意t的取值范圍.

　　【變式訓(xùn)練1】若0

　　A.4xsin 3x B.4x

　　C.4xsin 3x D.與x的值有關(guān)

　　【解析】令f(x)=4x-sin 3x，則f(x)=4-3cos 3x.因?yàn)閒(x)=4-3cos 3x0，所以f(x)為增函數(shù).又0f(0)=0，即得4x-sin 3x0.所以4xsin 3x.故選A.

　　題型二函數(shù)y=Asin(x+)模型的應(yīng)用

　　【例2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(024，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y=f(t).下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù).

　　經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acos t+b.

　　(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acos t+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式;

　　(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放. 請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?

　　【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T=12，所以=212=6.

　　由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0，

　　所以A=0.5，b=1，所以振幅為12.所以y=12cos 6t+1.

　　(2)由題知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放，

　　所以12cos 1，所以cos 0，

　　所以2k26t+2，即12k-3

　　因?yàn)?24，故可令①中k分別為0,1,2，得03或9

　　故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00至下午15：00.

　　【點(diǎn)撥】用y=Asin(x+)模型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.

　　【變式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10 m的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時(shí)間t(s)之間滿足關(guān)系式：d=Asin(t+)+k(A0，0，-2)，且當(dāng)點(diǎn)P從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：①A=10;②=2③④k=5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .

　　【解析】①②④.

　　題型三正、余弦定理的應(yīng)用

　　【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī) 能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：(1)指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示);(2)用文字和公式寫出計(jì)算M、N間距離的步驟.

　　【解析】(1)如圖所示：①測(cè)AB間的距離a;②測(cè)俯角MAB=，NAB=，MBA=，NBA=.(2)在△ABM中，AMB=-，由正弦定理得

　　BM=ABsin sinAMB=asin sin()，

　　同理在△BAN中，BN=ABsin sinANB=asin sin(+)，

　　所以在△BMN中，由余弦定理得

　　MN=

　　=a2sin2sin2()+a2sin2sin2(+)-2a2sin sin cos(-)sin()sin(+).

　　【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見(jiàn)正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)其中一座燈塔在南偏西60方向上，另一燈塔在南偏西75方向上，則該船的速度是海里/小時(shí).

　　【解析】本題考查實(shí)際模型中的解三角形問(wèn)題.依題意作出簡(jiǎn)圖，易知AB=10，OCB=60，OCA=75.我們只需計(jì)算出OC的長(zhǎng)，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC=tanOCB=tan 60且OAOC=tanOCA=tan 75，

　　因此易得AB=OA-OB=OC(tan 75-tan 60)，即有

　　OC=ABtan 75-tan 60=10tan 75-tan 60

　　=10tan(30+45)-tan 60

　　=10tan 30+tan 451-tan 30tan 45-tan 60=1013+11-13-3=5.

　　由此可得船的速度為5海里0.5小時(shí)=10海里/小時(shí).

　　總結(jié)提高

　　1.解三角形的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意：

　　(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等;

　　(2)將所有已知條件化入同一個(gè)三角形中求解;

　　(3)方程思想在解題中的運(yùn)用.

　　2.解三角函數(shù)的綜合題時(shí)應(yīng)注意：

　　(1)與已知基本函數(shù)對(duì)應(yīng)求解，即將x+視為一個(gè)整體X;