《整式的運算》教案設(shè)計
《整式的運算》教案設(shè)計
●課時安排
18課時
第一課時
●課題
§1.1整式
●教學(xué)目標
(一)教學(xué)知識點
1.在現(xiàn)實情景中進一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感.
2.了解整式產(chǎn)生的背景和整式的概念，能求出整式的次數(shù).
（二）能力訓(xùn)練要求
1.能從具體情景中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，使學(xué)生經(jīng)歷對具體問題的探索過程，培養(yǎng)符號感.
2.進一步培養(yǎng)學(xué)生認識特殊與一般的辯證關(guān)系.
（三）情感與價值觀
通過豐富有趣的現(xiàn)實情景，使學(xué)生經(jīng)歷從具體問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，在解決問題中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心.
●教學(xué)重點
單項式的系數(shù)、次數(shù)，多項式的項數(shù)、次數(shù)等概念.
●教學(xué)難點
對整式有關(guān)概念的理解.
●教學(xué)方法
講授——自主探索相結(jié)合.
通過學(xué)生自主探索現(xiàn)實情景中用字母表示數(shù)的問題，認識代數(shù)式的作用.在此基礎(chǔ)上，通過教師講解，掌握整式的有關(guān)概念.
●教具準備
1.教師所用三角板. 小黑板
●教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課
［師］在七年級上冊中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，代數(shù)式等內(nèi)容，這節(jié)課我們進一步認識代數(shù)式的表示作用.
例如：很多小城鎮(zhèn)里都有水塔，水塔可以用來儲水，維持水壓，每天水都不停地流進和流出水塔.一般地，白天，當人們從事生產(chǎn)活動時，流出水塔的水比流進水塔的水多；夜晚，當人們休息時，流進水塔的水比流出的水多.
（1）如果水以每小時a升的速度流進水塔，那么4小時后，流進水塔多少升水，若a=20000升，計算一下結(jié)果；
（2）如果水以每小時a升的速度流進水塔，同時又以每小時b升的速度流出水塔，那么4小時后，水塔里的儲水量變化了多少？
［生］（1）4小時后，流進水塔的水為4a升；當a=20000升時，4小時后，流進水塔的水為：4a=4×20000=80000升；
（2）4小時后，水塔里的儲水量變化了(4a-4b)升.
［師］在上述問題中列出的代數(shù)式4a,4a-4b都是整式，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)整式的概念.
Ⅱ.在實際情景中，明確整式的有關(guān)概念
出示投影片（§1.1 A):問題串
小明房間的窗戶如圖1－1所示，其中上方的裝飾物由兩個四分之一圓和一個半圓組成（它們的半徑相同）.
圖1－1
（1）裝飾物所占的面積是多少？
（2）窗戶中能射進陽光的部分的面積是多少？（窗框面積忽略不計）
（3）一個塑料三角尺如圖1－2所示，陰影部分所占的面積是 ；
圖1－2
（4）某校學(xué)生總數(shù)為x,其中男生人數(shù)占總數(shù)的 ，男生人數(shù)為 ；
（5）一個長方體的底面是邊長為a的正方形，高是h，體積是 .
［師生共析］（1）裝飾物是由兩個四分之一圓和一個半圓組成，它們的半徑相同，由圖中的已知條件可知半徑為 ,所以裝飾物所占的面積恰好是半徑為 的一個圓的面積即 ;
(2)窗戶中能射進陽光的部分的面積應(yīng)該是窗戶的面積與裝飾物所占面積的差即ab- ;
(3)塑料三角尺陰影部分所占的面積是 ab- mn;
(4)男生人數(shù)為 x;
(5)這個長方體的體積是a2h.
［師］我們觀察上面列出的幾個代數(shù)式可以發(fā)現(xiàn)：4a,, x,a2h等，都是數(shù)字與字母的乘積.例如4a是4與a的積， 是 與b2的積， x是 與x的積，a2h是1與a2h的積.像這樣的代數(shù)式我們把它們都叫做單項式（monomial).其中的數(shù)字因式如“4”“ ”“ ”“1”是單項式的系數(shù).
一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).
哪位同學(xué)能給我分析一下上面幾個單項式的次數(shù)呢？
［生］4a的次數(shù)是1次； b2的次數(shù)是2次； x的次數(shù)是1次；a2h的次數(shù)是3次.
［師］很好！你能給大家解釋一下a2h這個單項式的次數(shù)為什么是3次嗎？
［生］這是因為a2h這個單項式中含字母a和h.而a的指數(shù)是2，h的指數(shù)是1，所有字母的指數(shù)和當然是1+2=3嘍.
［師］這位同學(xué)很仔細，h的指數(shù)是1，這一點很容易被部分同學(xué)誤認為是0.h的指數(shù)應(yīng)是1，只不過作為指數(shù)時省略不寫，你還能回憶起什么時候“1”可以省略不寫嗎？
［生］“1”作為系數(shù)時，“1”作為一個字母的指數(shù)時，“1”作為分母時.
［師］同學(xué)們總結(jié)的很好.
［生］單獨的一個數(shù)或一個字母是單項式嗎？
［師］是.單獨的一個字母a,我們可以看成1?a,所以單獨的一個字母系數(shù)是1，次數(shù)也是1，單獨的一個非零的數(shù)的次數(shù)是0.
［生］這就是說，我們學(xué)過的所有有理數(shù)都是單項式.
［師］是的.
［生］代數(shù)式4a－4b,ab－ b2, ab－ mn,它們是什么樣的式子呢？
［師］代數(shù)式4a－4b是單項式4a,－4b的和，像這樣的幾個單項式的和所形成的代數(shù)式，我們把它叫做多項式.請問：ab－ b2, ab－ mn是哪些單項式的和呢？
［生］ab－ b2這個多項式是ab與－ b2的和； ab－ mn是 ab與－ mn的和.
［師］所以我們說ab－ b2這個多項式有兩項，分別是ab,－ b2. x2y+2y－1有幾項呢？
［生］ x2y+2y－1有三項，分別是 x2y,2y,－1.
［師］每一項的次數(shù)是多少呢？
［生］ x2y次數(shù)是3次，2y的次數(shù)是1次，－1的次數(shù)是0.
［師］在一個多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).x2y這一項在 x2y+2y－1中次數(shù)最高，因此我們把 x2y的次數(shù)3作為多項式 x2y+2y－1的次數(shù)，即 x2y+2y－1是一個三次三項式.那么ab－ b2,ab－ mn是幾次幾項式呢？
［生］它們都是二次二項式.
［師］我們剛才討論了單項式和多項式，而且還知道了單項式的系數(shù)、次數(shù)；多項式的項數(shù)、次數(shù).我們也就知道了整式，因為單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.研究單項式、多項式就是在研究整式.
在研究單項式和多項式的概念時，我們注意到在數(shù)字和字母之間只出現(xiàn)了乘法、加法、減法（可轉(zhuǎn)化為加法）的運算，沒有出現(xiàn)2÷x即 ,或x÷2即 這樣的式子，那么 , 是整式嗎？同學(xué)們不妨討論一下.
［師生共析］ 可以寫成 ?x,所以 是單項式，而 是數(shù)字與字母的商，所以不是單項式，更不是整式，所以整式最顯著的特征是字母不能作分母.
Ⅲ.議一議
出示投影片（§1.1 B)
小紅和小蘭房間窗戶的裝飾物如圖1－3所示，它們分別由兩個四分之一圓和四個半圓組成（半徑分別相同）.
圖1－3
（1）窗戶中能射進陽光的部分的面積分別是多少？（窗框面積忽略不計）
（2）你能指出其中的單項式或多項式嗎？它們的次數(shù)分別是多少？
［生］左圖小紅房間的裝飾物所占的面積相當于半徑為 的圓的面積的一半，即 b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積為ab－ b2.
右圖小蘭房間的裝飾物所占面積是半徑為 的兩個小圓的面積，即2× b2= b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積是ab－ b2.
［生］ab－ b2和ab－ b2它們都是多項式，且次數(shù)都是2次.
Ⅳ.練一練
1.隨堂練習(xí)（課本P4）
下列整式哪些是單項式，哪些是多項式？它們的次數(shù)分別是多少？
a,－ x2y,2x－1,x2+xy+y2
解：單項式：a,－ x2y;次數(shù)分別是1次和3次.
多項式：2x－1,x2+xy+y2;次數(shù)分別是1次和2次.
2.補充練習(xí)
（1）下列說法正確的是（ ）
A.單項式A的系數(shù)是0
B.單項式a的次數(shù)是0
C. 是單項式
D.1是單項式
（2）關(guān)于2×103?a,下列說法中正確的是（ ）
A.系數(shù)是2，次數(shù)是1
B.系數(shù)是2，次數(shù)是4
C.系數(shù)是2×103，次數(shù)是0
D.系數(shù)是2×103，次數(shù)是1
（3）已知出租汽車行駛3千米以內(nèi)（包括3千米）的車費是7元，以后每行駛1千米，再加1元.如果某人坐出租汽車行駛了m千米（m是整數(shù)，且m≥3)，則車費是（ ）
A.(7+m)元 B.（4+m)元
C.（7－m)元 D.（3+m)元
（4）下列各式中，哪些是單項式？哪些是多項式？哪些不是整式？
－2a2, xy, (m－n),0, ,1+ ,x2+ +1,x
(5)寫出系數(shù)是 ，含有字母a、b、c的五次單項式.
解：（1）D（2）D（3）B
（4）單項式：－2a2, xy,0,x;
多項式： (m－n),1+ ；
不是整式： ,x2+ +1
(5)a3bc,a2b2c,a2bc2,ab2c2,ab3c,abc3.
Ⅵ.課時小結(jié)
這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了整式的概念，特別整式中單項式和多項式的次數(shù).在現(xiàn)實情景中進一步理解了用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感.
Ⅶ.課后作業(yè)
課本P5習(xí)題1.1問題解決1
其它題做為課外作業(yè)
Ⅷ.活動與探究
已知多項式3xn－2－2xn－xn+1是四次三項式，則單項式(2－n)xn－1yn+1的系數(shù)、次數(shù)分別是多少？
［過程］根據(jù)多項式次數(shù)的定義，可以確定n的值.因為n+1,n,n－2相比較，n+1最大，所以n+1=4,n=3.把n=3代入(2－n)xn－1?yn+1中，單項式的系數(shù)、次數(shù)都可以確定.
［結(jié)果］根據(jù)題意，得n+1=4,n=3;把n=3代入(2－n)xn－1yn+1中得單項式－x2y4.所以－x2y4的系數(shù)為－1，次數(shù)為6次.
●板書設(shè)計
§1.1整式
1.單項式：數(shù)和字母的積的代數(shù)式為單項式
①單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)；
②單項式的次數(shù)：單項式中所有字母的指數(shù)和；
③單獨的一個數(shù)和一個字母也是單項式；
④單獨的一個非零數(shù)次數(shù)是0.
2.多項式：幾個單項式的和
在一個多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).
3.課堂練習(xí)：（由學(xué)生口答）
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