八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形及其性質(zhì)教學(xué)計(jì)劃
教學(xué)目標(biāo)：
1.(1)掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法;理解過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的尺規(guī)作圖原理;(2)理解并掌握角的平分線的性質(zhì)定理。(3) 會(huì)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理論證，解決相關(guān)的幾何問(wèn)題;(4)進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，能進(jìn)行有條理地思考，形成簡(jiǎn)單的推理能力; (5)使學(xué)生經(jīng)歷探索角平分線的性質(zhì)的過(guò)程，領(lǐng)會(huì)用操作、歸納、推理論證得出數(shù)學(xué)結(jié)論的思想方法。
教學(xué)重點(diǎn)：角平分線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：角平分線的尺規(guī)作圖方法的提煉與角平分線性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
教學(xué)過(guò)程：
活動(dòng)一、知識(shí)回顧
1、不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法?再打開紙片 ，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系?
2、請(qǐng)敘述角平分線的定義。
活動(dòng)二、情景引入
如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說(shuō)明它的道理嗎?
證明：在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
∵ DC=BC(已知)
CA=CA(公共邊)
∴ △ACD≌△ACB(SSS)
∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)
∴AC平分∠DAB(角平分線的定義)
活動(dòng)三、新知探究
一、根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線?(不用角平分儀或量角器，要求尺規(guī)作圖)
二、怎樣用尺規(guī)作圖方法作已知直線的垂線?(過(guò)這條直線上一點(diǎn))
(1)平分平角∠AOB(如下圖所示)
(2)通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD,直線CD與直線AB是什么關(guān)系?
(3)結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。
三、探究角平分線的性質(zhì)
1、已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E,PD與PE有何關(guān)系?并證明。
解：PD與PE相等。證明如下：
∵OC平分∠AOB(已知)
∴∠1=∠2 (角平分線的定義)
∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)
∴∠PDO=∠PEO (垂直的定義)
在△PDO和△PEO中
∠PDO=∠PEO (已證)
∵ ∠1=∠2 (已證)
OP=OP (公共邊)
∴△PDO≌△PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
2、由此得到角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
3、利用此性質(zhì)怎樣書寫推理過(guò)程?
∵OC平分∠AOB,點(diǎn)P在OC上，且 PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)
活動(dòng)四、例題講解
例。已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.
求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等
證明：過(guò)點(diǎn)P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，
垂足為D、E、F
∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上
∴PD=PE (角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)
同理：PE=PF.∴ PD=PE=PF.
即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等
活動(dòng)五、實(shí)踐應(yīng)用
1.如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E,F在AC上，BD=DF.求證：CF=EB
分析：要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等，即Rt△CDF≌Rt△EDB.
現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF，還需要我們找什么條件?
注意到題設(shè)條件：AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E, ∠C=90°故有：DC=DE (角平分線的性質(zhì))
進(jìn)而可用HL證明上述兩個(gè)直角三角形全等
證明：∵∠C=90°∴DC⊥AC
又∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E
∴∠DEB=90°，DC=DE(角平分線的性質(zhì))
在Rt△CDF和Rt△EDB中
DF=DB(已知)
∵
DC=DE(已證)
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)
∴ CF=EB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
2、已知：如右下圖，在△ABC中，AD是它的.角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.
求證：EB=FC.
證明：∵AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定義)
DE=DF(角平分線的性質(zhì))
在Rt△DEB和Rt△DFC中
BD=CD
∵
DE=DF
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)
∴EB=FC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
3.已知：如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線BD與CE相交于點(diǎn)P.
求證：點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA所在直線的距離相等。
證明：作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H.
又∵△ABC的兩個(gè)外角的平分線BD與CE相交于點(diǎn)P
∴PG=PF , PF=PH(角平分線的性質(zhì))
即PG=PF=PH
∴點(diǎn)P到三邊AB,BC,CA所在直線的距離相等。
活動(dòng)六、歸納總結(jié)
1、定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。
2、定理的使用形式：
∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等)。
尺規(guī)作圖：①作已知角的平分線;②過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線。
作業(yè)布置： 1.預(yù)習(xí)課本P21～P23
2.完成課本P22T2，P23T4，5
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