平面向量教學(xué)課件

　　平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向又有大小的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數(shù)量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

　　【學(xué)習(xí)目標】

　　1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

　　2、掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

　　3、掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；

　　4、了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。

　　【學(xué)習(xí)要點】

　　1、向量概念

　　________________________________________________________叫零向量，記作 ；長度為______的向量叫做單位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。

　　規(guī)定： 與______向量平行；長度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。

　　2、向量加法

　　求兩個向量和的運算，叫做向量的加法，向量加法有___________法則與______________法則。

　　3、向量減法

　　向量 加上 的相反向量叫做 與 的差，記作_________________________，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

　　4、實數(shù)與向量的積

　　實數(shù) 與向量 的積是一個_______，記作________，其模及方向與____的值密切相關(guān)。

　　5、兩向量共線的充要條件

　　向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個實數(shù) ，使得__________。

　　【典型例題】

　　例1 在四邊形ABCD中， 等于 （ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　例2 若平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且 ， ，則 、 表示向量 為 （ ）

　　A、 + B、 — C、— + D、— —

　　例3 設(shè) 、 是兩個不共線的向量，則向量 與向量 共線的充要條件是 （ ）

　　A、 0 B、 C、 1 D、 2

　　例4 下列命題中：

　　（1） = ， = 則 =

　　（2）| |=| |是 = 的必要不充分條件

　　（3） = 的充要條件是

　　（4） = （ ）的充要條件是 =

　　其中真命題的有__________________。

　　例5 如圖5-1-1，以向量 ，為邊作平行四邊形AOBD，又 ，，用 、 表示 、 和 。

　　【課堂練習(xí)】

　　1、 （ ）

　　A、 B、 C、 D、

　　2、“兩向量相等”是“兩向量共線”的（ ）

　　A、充分不必要條件 B、必要不充分條件

　　C、充要條件 D、既不充分也不必要條件

　　3、 已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則 等于 （ ）

　　A、

　　B、

　　C、

　　D、

　　4、若| |=1，| |=2， =且 ，則向量 與 的夾角為（ ）

　　A、300 B、600 C、1200 D、1500

　　【課堂反思】

　　2.2 平面向量的坐標運算

　　【學(xué)習(xí)目標】

　　1、知識與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

　　2、能力目標：會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；

　　3、情感目標：通過對平面向量的基本定理來理解坐標，實現(xiàn)從圖形到坐標的轉(zhuǎn)換過程，鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

　　【學(xué)習(xí)過程】

　　1、平面向量基本定理

　　如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個 的向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 使 ，其中不共線的向量 、 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的'一組 。

　　2、平面向量的正交分解及坐標表示

　　把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與 軸、 軸正方向相同的兩個 向量 、 作為基底，對任一向量 ，有且只有一對實數(shù) 、 使得 ，則實數(shù)對（ ， ）叫做向量 的直角坐標，記作 = ，其中 、 分別叫做 在 軸、 軸上的坐標， 叫做向量 的 表示。相等向量其坐標 ，坐標相同的向量是 向量。

　　3、平面向量的坐標運算

　　（1）若 = ， = ，則 =

　　（2）若A ，B ，則

　　（3）若 =（ ， ），則

　　4、平面向量共線的坐標表示

　　若 = ， = ， 則 // 的充要條件是

　　5、若 ，其中 ，則有：

　　【典型例題】

　　例1 設(shè) 、 分別為與 軸、 軸正方向相同的兩個單位向量，若 則向量 的坐標是（ ）

　　A、（2，3） B、（3，2） C、（—2，—3） D、（—3，—2）

　　例2 已知向量 ，且 // 則 等于( )

　　A、 B、— C、 D、—

　　分析 同共線向量的充要條件易得答案。

　　例3 若已知 、 是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是 ( )

　　A、 與— B、3 與2 C、 + 與 — D、 與2

　　例4 已知 當實數(shù) 取何值時， +2 與2 —4 平行？

　　【課堂練習(xí)】

　　1、已知 =（1，2）， =（—2，3）若 且

　　則 ____________, _________________。

　　2、已知點A（ ，1）、B（0，0）、C（ ，0），設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有 其中 等于( )

　　A、2 B、 C、—3 D、

　　3、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A 若點C滿足 ，其中 、 且 + 則點C的軌跡方程為 ( )

　　A、 B、

　　C、 D、

　　4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）且 ， 求點M、N的坐標及向量 的坐標。

　　【課堂反思】

　　2.3 平面向量的數(shù)量積及其運算

　　【學(xué)習(xí)目標】

　　1．知識與技能：

　　（1）理解向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；

　　（2）理解一個向量在另一個向量上的投影的定義；

　　（3）掌握向量數(shù)量積的運算律；

　　（4）理解兩個向量的夾角定義；

　　2．過程與方法：

　　（1）能用投影的定義求一個向量在另一個向量上的投影；

　　（2）能區(qū)別數(shù)乘向量與向量的數(shù)量積；

　　（3）掌握兩向量垂直、平行和反向時的數(shù)量積；

　　3．情感、態(tài)度與價值觀：

　　（1）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想理解向量的數(shù)量積及它的幾何意義；

　　（2）使學(xué)生體會周圍事物周期變化的奧秘，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

　　（3）培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

　　【學(xué)習(xí)過程】

　　1、請寫出平面向量的坐標運算公式：

　　（1）若 = ， = ，則 =

　　（2）若A ，B ，則

　　（3）若 =（ ， ），則

　　2、平面向量共線的坐標表示

　　若 = ， = ， 則 // 的充要條件是

　　3、兩個非零向量夾角的概念

　　已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則_________________________叫 與 的夾角.

　　4、我們知道，如果一個物體在力F（與水平方向成θ角）的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W=

　　5、數(shù)量積的概念：

　　（1）兩個非零向量 、 ，過O作 = ， = ，則∠AOB叫做向量 與 的夾角，顯然，夾角

　　（2）若 與 的夾角為90 ，則稱 與 垂直，記作 ⊥

　　（3） 、 是兩個非零向量，它們的夾角為 ，則 叫做 與 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作 。

　　即 =| || |cos

　　規(guī)定 =0，顯然，數(shù)量積的公式與物理學(xué)中力所做功的運算密切相關(guān)。

　　特別提醒：

　　（1）（０≤θ≤π）.并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0

　　（2）兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

　　設(shè) 、 為兩個非零向量，

　　1)  = 0

　　2)當 與 同向時， = | || |；當 與 反向時， = | || |

　　特別的 = | |2或.

　　3)cos = ；

　　4)| | ≤ | || |

　　6、“投影”的概念：如圖

　　定義： _____ _______叫做向量b在a方向上的投影

　　特別提醒：

　　投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b|

　　3、平面向量數(shù)量積的運算律

　　交換律： =______

　　數(shù)乘結(jié)合律： =_________=__________

　　分配律： =_____________

　　【典型例題】

　　例1 邊長為 的正三角形ABC中，設(shè) ， ， 則=

　　例2 已知△ABC中， ， ， ， ABC的面積 ，且| |=3，| |=5，則 與 的夾角為

　　例3 已知 =（1，2）， =（6，—8）則 在 上的投影為

　　【課堂練習(xí)】

　　1、已知 、 均為單位向量，它們的夾角為 那么 =

　　2、已知單位向量 與 的夾角為 ，且 ， ，求 及 與 的夾角 。

　　3、若 ， ，且向量 與 垂直，則一定有( )

　　A、 B、 C、 D、 且

　　4、設(shè) 是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題

　　①

　　②

　　③ 不與 垂直

　　④

　　其中正確的有（ ）

　　A、①② B、②③ C、③④ D、②④

　　5、已知平面上三點A、B、C滿足 ，則

　　的值等于____ ______

　　【課后反思】

　　2.4 平面向量的應(yīng)用

　　【學(xué)習(xí)目標】

　　一、知識與技能

　　1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué) 問題與其他一些實際問題的 過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力

　　2.運用向量的有關(guān)知識對物理中的問題進行相關(guān)分析和計算，并在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力

　　二、過程與方法

　　1.通過例題，研究利用向量知識解決物理中有關(guān)“速度的合成與分解”等問題

　　2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會應(yīng)用向量知識處理平面幾何問題、力學(xué)問題與其它一些實際問題是一種行 之有效的工具；和同學(xué)一起總結(jié)方法，鞏固強化.[來源:學(xué)科網(wǎng)]

　　三、情感、態(tài)度與價值觀

　　1.以學(xué)生為主體，通過問題和情境的設(shè)置，充分調(diào)動和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.

　　2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對用向量研究幾何以及其它學(xué)科有了一個初步的認識；提高學(xué)生遷移知 識的能力、運算能力和解決實際問題的能力.

　　【學(xué)習(xí)過程】

　　請認真思考后，回答下列問題：

　　1、判斷：

　　（1）若 四點共線，則向量 （ ）

　　（2）若向量 ，則 四點共線（ ）

　　（3）若 ，則向量 （ ）

　　（4）只要向量 滿足 ，就有 （ ）

　　2、提問：

　　（1）兩個非零向量平行的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）

　　（2）兩個非零向量垂直的充要條件是什么？（你能寫出幾種表達形式）

　　【典型例題】

　　例1 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，求BC長．

　　變式 已知⊿ABC中，∠BAC＝60o，AB＝4，AC＝3，點D在線段BC

　　上，且BD=2DC求AD長．

　　例２ 如圖，已知Rt⊿OAB中，∠AOB＝90o，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P為AM與BN的交點，求∠MPN．

　　【課堂練習(xí)】

　　⊿ABC中，AD，BE是中線，AD，BE相交于點G

　　（1）求證：AG=2GD

　　（2）若F為AB中點，求證G、F、C三點共線．

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