高二數學等比數列的前n項和教學設計
作為一名教職工，很有必要精心設計一份教學設計，教學設計把教學各要素看成一個系統，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優(yōu)化。你知道什么樣的教學設計才能切實有效地幫助到我們嗎？以下是小編精心整理的高二數學等比數列的前n項和教學設計，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
一、教學背景分析
1、教學內容分析
本節(jié)課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節(jié)第二課時,是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續(xù)，與函數等知識有著密切的聯系，也為以后學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養(yǎng)，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節(jié)以數學文化背境引入課題有助于提升學生的創(chuàng)新思維和探索精神,是提高數學文化素養(yǎng)和培養(yǎng)學生應用意識的良好載體。
2、學情分析
從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節(jié)公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二、教學目標
依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發(fā)展水平和心理特點，確定本節(jié)課的教學目標如下：
1、知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2、過程與方法目標：感悟并理解公式的推導過程，感受公式探求過程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優(yōu)化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。
3、情感與態(tài)度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。
三、重點,難點
教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。
教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關系。
四、教學方法
啟發(fā)引導，探索發(fā)現，類比。
五、 教學過程
（一）借助數學文化背境提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。
西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的`興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節(jié)課的主題與重點。
問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？
引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”。
（二）師生互動，探究問題
問題2：“等比數列的前n項和”
有些學生會說用計算器來求。（老師當然肯定這種做法，但學生很快發(fā)現比較難求。）
問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什么特征？
（學生會發(fā)現，后一項都是前一項的2倍）
問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：
“等比數列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現？（學生經過比較發(fā)現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學生會發(fā)現：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什么要錯位相減，經過繁難的計算之后，突然發(fā)現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。
問題6：老師指出這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類比聯想，構建新知
這時我再順勢引導學生將結論一般化。
問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：
即:“等比數列的前n項和”(學生相互合作,討論交流，老師巡視課堂，并請學生上臺板演。)
注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。
將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”后會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最后師在突出強調，加深印象。
兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，后面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這里的“等比數列的前n項和”能不能等于1呀？等比數列中的公比能不能為1？那么“等比數列的前n項和”時是什么數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這里引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ,如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” “等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
知三求二：n q a1 an Sn ；n的含義：項數（通項公式是qn－1）；q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）后錯開一項后再減。
【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）
（1）錯位相減法
“等比數列的前n項和”（2）提出公比q。
“等比數列的前n項和”（3）累加法。
【設計意圖】：以疑導思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍、 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用。
(五) 應用公式，深化理解
例1：在等比數列{ an }中：
(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；
(3)已知a1=－1、5，a4=96，求q與S4；
(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。
例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。
例3：求數列{n+ }的前n項和。
【設計意圖】：將未知問題轉化為已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；
練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；
練習3：求數列{n+an}的前n項和。
（先由學生獨立求解，然后抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)
【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想。
（六）總結歸納，加深理解
問題10:這節(jié)課你有什么收獲？學到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
（學生小結歸納，不足之處老師補充說明。）
1、公式：等比數列前n項和。
當q≠1時,Sn=
當q=1時, Sn=na1
2、方法：錯位相減法。（乘以公比）
3、思想：分類討論。（公式選擇）
（七）故事結束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1、84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。
（八）課后作業(yè)，分層練習
（1）閱讀本節(jié)內容，預習下一節(jié)內容；
（2） 書面作業(yè)：習題P30 8 、10；
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
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