等式的性質教學設計（通用14篇）
在教學工作者開展教學活動前，常常要根據(jù)教學需要編寫教學設計，教學設計是根據(jù)課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃。優(yōu)秀的教學設計都具備一些什么特點呢？下面是小編為大家收集的等式的性質教學設計，歡迎大家分享。
等式的性質教學設計 1
〔教學目標〕
1、了解等式的概念；
2、利用天平的經(jīng)驗分析得出等式的性質；
3、會利用等式的性質解方程。
〔重點難點〕
等式的性質和運用是重點；利用天平經(jīng)驗抽象出等式的性質是難點。 〔教學方法〕指導探究，合作交流
〔教學資源〕
多媒體設備
〔教學過程〕
一、問題導入
我們知道未知數(shù)的某個值是方程的解，但怎樣才能知道方程的`解是什么呢？方程是含有未知數(shù)的等式，我們先來看看等式有什么性質。
二、等式及其性質
1、等式
用等號表示相等關系的式子叫等式。如：m+n=n+m，x+2x=3，3×3+1=5×2，3x+1=5y，等等。 注意：等式中一定含有等號。
我們可以用a=b來表示一般的等式。
2、等式的性質
觀察天平的變化，你能發(fā)現(xiàn)了什么？
在平衡天平的兩邊都加上（或減去）同樣的量，天平還保持平衡。
如果把天平看成等式，球和正方體看成數(shù)或式，那么你能得到什么結論？
等式性質1等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等。 用字母表示為：如果a=b，那么a±c=b±c×3÷3觀察天平的變化，你能發(fā)現(xiàn)了什么？
把平衡天平的兩邊都擴大（或縮小）相同的倍數(shù)，天平仍保持平衡。
同樣地，如果把天平看成等式，球和正方體看成數(shù)，那么你能得到什么結論？ 等式性質2 等式兩邊乘以同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等。 用字母表示為：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。
注意：①等式兩邊除以一個數(shù)時，這個數(shù)必須不為０；②對等式變形必須同時進行，且是同一個數(shù)或式。
思考：回答下列問題：
（１）從a+b=b+c，能否能到a=c，為什么？
（2）從a-b=b-c，能否能到a=c，為什么？
（１）從ab=bc，能否能到a=c，為什么？
（１）從a/b=c/b，能否能到a=c，為什么？
（１）從xy=1，能否能到x=1/y，為什么？
三、例題
例1 利用等式的性質解下列方程：
（1）x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1/3x-5=4.
分析：解方程的結果就是將方程轉化為x=a的形式，為此，解方程就要將未知項移到一邊，常數(shù)項移到另一邊。
解：（１）將常數(shù)項移到右邊，得
x=26－7
化為x=a的形式，得 x=１９。
（２）化為x=a的形式，得
x=20／－５ 于是x=－４。
（３）將常數(shù)項移到右邊，得
-1/3x=4＋５即-1/3x=９
化為x=a的形式，得
x=９×（－３）于是x=－２７。
四、課堂練習
課本８４面練習（１）～（４）。
五、課堂小結
１、等式和等式的性質。
２、運用等式的性質解方程。
作業(yè)：
課本８５面３、４、７、８。
課外閱讀８６面《“方程”史話》
六、板書設計： 等式的性質
一、等式及其性質
二、例題
三、練習
等式的性質教學設計 2
一、復習等式的性質
1、前一節(jié)課我們學習了等式的性質，誰還記得？
2、在一個等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。那同學們猜想一下，如果在一個等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除以一個數(shù)時0除外)，所得結果還會是等式嗎？
3、生自由猜想，指名說說自己的理由。
4、那么，下面我們就通過學習來驗證一下我們的猜想。
二、教學例五
1、引導學生仔細觀察例五圖，并看圖填空。
2、集體核對
3、通過這些圖和算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
4、接下來，請大家要課練本上任意寫一個等式。請你將這個等式兩邊同時乘同一個數(shù)，計算并觀察一下，還是等式嗎？再將這個等式兩邊同時除以同一個數(shù)，還是等式嗎？能同時除以0嗎？
5、通過剛才的活動，你又有什么發(fā)現(xiàn)？
6、引導學生初步總結等式的性質(關于乘除的)
7、板書出示：等式兩邊同時乘或除以同一個不等于0的.數(shù)，所得結果仍然是等式。
8、練一練第一題
⑴、指名讀題
⑵、生獨立填寫在書上，集體核對
⑶、你是根據(jù)什么來填寫的？
三、教學例六
1、出示例六教學掛圖，指名讀題，同時要求學生仔細觀察例六圖
2、長方形的面積怎樣計算？
3、根據(jù)題意怎樣列出方程？指名口答，你是怎么想的？板書：40x=960
4、在計算時，方程兩邊都要除以幾？為什么？
5、生獨立計算，指名上黑板。全班核對
6、計算出x=24后，我們怎樣才能確定這個數(shù)是否正確？請大家口算檢驗一下。最后將例六填寫完整。
7、小結：在剛才計算例六的過程中，我們將方程的兩邊都同時除以40，這是為什么？為什么將等式兩邊都同時除以40，等式仍成立？
8、試一試
⑴、出示x÷0.2=0.8
⑵、生獨立解方程，指名上黑板。師巡視并幫助有困難的學生。
⑶、集體核對，指名口答：你是怎樣解方程的？為什么可以這樣做？
9、練一練第二題
⑴、生獨立解方程。指名上黑板，師巡視。
⑵、集體訂正。
四、鞏固練習
1、練習二第一題
⑴、請每位同學在小組里說一說每一題應該怎樣解，指名口答。(第三組)
⑵、生獨立解方程。指名上黑板
⑶、集體核對
2、練習二第二題
⑴、指名讀題
⑵、生獨立填寫，師巡視。
⑶、你在填的時候是怎樣想的？
五、課堂作業(yè)
練習二第三題
等式的性質教學設計 3
教學目標：
1、在用算式表示試驗結果、討論、歸納等活動中，經(jīng)歷探索等式基本性質的過程。
2、理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
3、積極參與數(shù)學活動，體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
教學重難點：
理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
教學過程：
一、導入新課：
同學們用天平做過實驗嗎？今天我們就要用天平去發(fā)現(xiàn)一些重要的規(guī)律，有信心嗎？
二、新知探究
（一）探尋發(fā)現(xiàn)“天平保持平衡的規(guī)律1”。
第一步，出示天平，左盤放一茶壺，右盤放兩茶杯，天平保持平衡。問：這說明什么？如果設一把茶壺重a克，1個茶杯重b克，則可以用一個等式來表示：即a=2b（板），
第二步，問：想一想，怎樣變換能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，進而問：往兩邊各放一個茶杯，天平會發(fā)生什么變化？教師演示加以驗證，在已平衡的天平兩邊同時增加一個相同的杯子，天平保持平衡。這個過程可以表示為a+b=2b+b 。
第三步，問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還保持平衡？兩邊各放上同樣的一個茶壺呢？學生回答后，老師一一演示驗證。
第四步，想一想，怎樣變換能使天平保持平衡？天平兩邊增加同樣的物品，天平保持平衡。如果天平兩邊減少同樣的物品，天平會保持平衡嗎？
第五步，在第三步的基礎上同時減少一個茶壺，天平保持平衡，用式子表示就是2a-a=2b+a-a 。因此天平保持平衡的規(guī)律概括起來可以怎么說？天平兩邊增加或減少同樣的物品，天平會保持平衡。
第六步，應用，進一步驗證。展示數(shù)學書P55頁第2幅圖的場景，1個花盆和幾個花瓶同樣重呢？該怎么辦？兩邊同時減少一個花瓶，天平保持平衡。
（二）探尋發(fā)現(xiàn)“天平保持平衡的規(guī)律2”。
第一步，出示天平，左盤放一瓶墨水，右盤放兩個鉛筆盒，天平保持平衡。一瓶墨水等于兩個鉛筆盒的質量，如果設一瓶墨水重c克，1個鉛筆盒重d克，則可以用一個等式來表示：即c=2d（板），
第二步，問：想一想，如果在左邊再放上1瓶墨水，右邊再放上2個鉛筆盒，天平還保持平衡嗎？驗證，天平兩邊加的東西不同，數(shù)量也不同，為什么還能保持平衡呢？學生可能會說，因為兩邊增加的質量相同，肯定；同時引導，天平左邊的質量在原來的基礎上發(fā)生了什么變化？（擴大了2倍），右邊呢？（也擴大了兩倍）因此，天平兩邊盡管所增加的東西不同，數(shù)量不同，但兩邊質量所發(fā)生的變化是相同的，都擴大了2倍，所以天平仍然保持平衡。用式子表示就是c×2=2d×2 。
第三步，剛才的演示反過來，就是天平兩邊同時縮小相同的倍數(shù)，天平保持平衡，用式子表示就是2c÷2=4d÷2。因此，天平除了在兩邊同時增加或減少同樣的物品會保持平衡外，還可怎么變換也可以保持平衡？歸納得出：天平兩邊物品的質量同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，天平保持平衡。
第四步，進一步驗證，出示P56的情景，問要求1個排球和幾個皮球同樣重該怎么辦？兩邊質量同時縮小2倍，即把兩邊的球都平均分成2份，保留其中的一份，按其操作，天平保持平衡，得出結論：1個排球和3個皮球同樣重。
（三）小結天平保持平衡的變換規(guī)律，引出等式不變的規(guī)律。
通過剛才的實驗，我們發(fā)現(xiàn)了什么，誰來總結一下。
得出天平保持平衡的變換規(guī)律：
天平兩邊同時增加或減少同樣的物品，天平保持平衡；
（2）天平兩邊的質量同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，天平保持平衡。
老師引導：我們可以發(fā)現(xiàn)，天平保持平衡時可以用一個等式來表示，當天平兩邊發(fā)生變化時，等式的兩邊也在發(fā)生變化，天平保持平衡，等式也保持不變。從天平保持平衡的規(guī)律，我們可以發(fā)現(xiàn)等式保持不變的規(guī)律嗎？想一想，四人小組討論。
交流，發(fā)現(xiàn)：等式保持不變的規(guī)律：
等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，等式仍然成立；
（2）等式的兩邊同時乘或除以同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），等式仍然成立。
三、試一試。
等式基本性質的.直接應用，也使學生感知解方程的書寫格式，學習利用等式的基本性質進行推理。
四、練一練
五、小結。
有什么收獲？還有什么問題？
板書設計：
等式的基本性質
等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，等式仍然成立；
等式的兩邊同時乘或除以同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），等式仍然成立。
教學后記：
從學生的反應來看，這種提出問題讓學生先猜測的教學方法，因為平時訓練的少，教師突然放手，學生不知所措，不知道如何去思考。由此可以看出，教師在教學中還存在包辦現(xiàn)象，學生還習慣于在老師的引導下去掌握新知，鞏固新知，然后學會解題。即學生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還不夠，需要加強。
等式的性質教學設計 4
教學內容：蘇教版教科書第1～2頁的內容。
教學目的：
⑴在具體的情景中，讓學生理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程，初步會用列方程解決一步計算的實際問題。
⑵在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，讓學生經(jīng)歷將情景問題抽象等式規(guī)律的過程，積累將現(xiàn)實問題數(shù)學化的經(jīng)驗，感受方程的思想方法及價值，發(fā)展抽象能力和推理能力。
⑶學生在數(shù)學活動的過程中，養(yǎng)成獨立思考、主動與他人合作交流等習慣，獲得成功的體驗，培養(yǎng)對數(shù)學的學習興趣。
教學流程：
一、談話導入，明確探究的目標。
⑴出示天平圖，增加感性認識。
出示天平圖。
讓學生說說對天平的認識；
⑵明確探究的目標。
教師總結，引導學生們明確探究的話題——等式中存在的規(guī)律；出示圖片情境。
二、自主探究規(guī)律。
⑴自主看圖填空。
學生自主完成第3頁的看圖填空。
⑵同桌交流。
交流填寫的內容，辨析答案的正確性；交流發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；引導學生理解規(guī)律。
⑶舉例驗證發(fā)現(xiàn)規(guī)律的正確性。
班級舉例；同桌舉例驗證。
⑷適當推理。
由等式的性質——“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”進行適當?shù)耐评怼?/p>
希望推理出“等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
三、規(guī)律的.引用。
⑴出示方程，引發(fā)學生的求未知數(shù)的興趣。
出示上節(jié)課學生列出的部分方程x＋50＝150和2x＝200，談話：你知道x表示多少，介紹你的想法。
⑵引用規(guī)律解方程。
在學生的介紹中，張揚用等式解方程的數(shù)學根據(jù)。
⑶規(guī)范解方程的格式。
x＋50＝150
解：x＋50－50＝150－50
x＝100
⑷學習驗證答案的方法。
方法：代入法。
格式：把x＝100代入原方程，100＋50＝150，x＝100是正確的。
⑸練一練。
解方程x—30=80。
⑹全課小結，完成作業(yè)。
小結：解方程，求方程中未知數(shù)的值的過程，叫做解方程。
作業(yè)：第4頁練一練1～2。
等式的性質教學設計 5
一、學情分析：作為初一學生（132班和137班）在小學時已經(jīng)對等量關系和等式的性質有所了解，通過本節(jié)課的學習，目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
二、說教材
1、教材所處的地位和作用
新課標對本節(jié)課的要求是：掌握等式的性質。在前面一節(jié)課的學習中，學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后，需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先，通過天平的實驗操作，使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后，利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據(jù)以上對教材的理解與內容分析，考慮到學生已有的知識結構和心理特征，制定如下教學目標：
(1)知識與技能：探究等式的性質，并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程.
(2)過程與方法：通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力，歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀：積極參與數(shù)學活動，體驗探索等式性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性，建立學生學好數(shù)學的信心。
3、教學重、難點
為了使學生能比較順利地達到教學目標，我確定了本節(jié)課的教學重、難點：
教學重點：探究等式的性質，能根據(jù)等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程.
教學難點：利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的'形式;正確理解等式性質2中除數(shù)不能為0.
4、教學準備：多媒體課件、小黑板
三、說教學策略
（一）教學手段：如何突出重點、突破難點，從而實現(xiàn)教學目標，我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作：
1、讀（看）——議——講結合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的原則。
（二）教學學法分析
堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導，教師講述為輔，學生活動在前，教師點撥評價在后”的原則。根據(jù)初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內容，采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法，使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力，突出學生的主體地位。在采用問答法時，特別注重不同難度的問題。提問不同層次的學生面向全體，使基礎差的學生也有表現(xiàn)的機會，培養(yǎng)其自信心，激發(fā)學習熱情，有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發(fā)展，同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的，教師應在課堂上充分調動學生積極性，激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上，青少年好動，注意力易分散，愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象，引發(fā)學生興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會，讓學生發(fā)表見解，發(fā)揮學生學習的主動性。
四、教學過程分析
（一）導入新課、展示目標
首先我出了一些可以看出方程解的題目，讓學生回答，由易到難，激起學生學習的欲望，緊接著就引入等式的定義，從而使學生明白解方程先要研究等式，從而引入課題。
（二）自主探索、分組合作
由于學生的認知結構是由簡單到復雜，由具體到抽象的過程，因此在這一環(huán)節(jié)中，我分兩個方面來教學：等式的性質1由老師課件演示，學生觀察歸納概括；
學習等式的基本性質1
1、具體情境，感受天平平衡
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察，用語言來描述發(fā)現(xiàn)，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學生記憶深刻，充分體現(xiàn)了學生為主體，教師為主導的原則。
2、總結抽象，認識規(guī)律
通過上面的觀察，讓學生分組討論：如何用算式表示實驗結果？學生交流后，教師進行課件演示。
然后學生抽象概括出：等式兩邊同時加上同一個數(shù)，等式仍然成立。
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書：等式的基性質
本節(jié)課，讓學生經(jīng)歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程，體驗變化是怎樣產生的，怎樣從打破平衡，又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
3、提出假設，驗證規(guī)律
我接著提問：如果天平兩邊減去相同的質量，天平會有什么變化？
讓學生先獨立思考，然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？怎樣用等式描述？得出等式兩邊同時減去同一個數(shù)，等式仍然成立。
并且由以上兩條規(guī)律得出：等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，等式仍然成立。
4、再次設疑，深入驗證
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量，天平會有什么變化？
學生經(jīng)過思考得出：等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù)，才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律，從實踐認識，再到實踐認識的過程。
學習等式的性質2
教師再用課件展示天平圖，學生通過觀察，歸納得出：等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上，讓學生自己通過觀察探究，運用知識的遷移得出，這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力，抽象概括能力和口頭表達能力。
（一）匯報導學解疑釋難
等式的性質：(1)若a=b，則a±c=b±c
（2）若a=b，則ac=bc，
注意：（１）等式兩邊都要參加運算，且是同一種運算．
（２）等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子．
（３）等式兩邊不能都除以０，即０不能作除數(shù)或分母．
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質展示出來，我特別提到了三個注意：因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方，就是希望同學們認真細心，正確利用性質解題。
四、當堂訓練達標測評
我在練習中設計了三道題，從簡單的填空到判斷變形對錯，到最后的解方程，方程的四道題也是有簡單到復雜，總之練習題的設計，低起點，小臺階，循序漸進，符合學生接受知識的特點，是那些平時不舉手的同學也積極參與，竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性，使學生獲得成功的滿足感。
小結：
用簡單的知識結構圖小結等式的性質
作業(yè)設計：
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
思考：
整個教學過程主要分兩部分：第一部分是等式的性質，我采用體驗探究的教學方式，首先由老師運用多媒體演示天平實驗，分別在天平兩側放上砝碼使天平保持平衡，并把實驗轉化為數(shù)學問題并列出數(shù)學式子；再讓學生所列的式子，提出問題：通過天平實驗所得到的式子你能聯(lián)想到等式有什么性質？由學生獨立思考歸納出等式的性質一和性質二，然后再把等式的性質抽象為數(shù)學的符號語言并表示出來。最后通過練習鞏固等式的兩條性質，并讓學生從練習中思考運用等式的性質時應注意些什么？第二部分是對等式性質的運用。通過兩個例題和兩個練習，揭示等式性質的對稱性和傳遞性，為后面學習一元一次方程和二元一次方程組作好了鋪墊。
等式的性質教學設計 6
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始，其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎上，掌握等式的兩個基本性質，引導學生通過比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標：
知識與技能：理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法：在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中，經(jīng)歷探索等式基本性質的過程。
情感態(tài)度價值觀：積極參與數(shù)學活動，體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
三、教學重點是：
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質，利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序（分三部分教學）
（一）聯(lián)系實際，激趣引入
首先激發(fā)探究興趣：提出問題：“同學們，你用天平做過游戲嗎？”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識。”
（二）自主探索，合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境，感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察，用語言來描述發(fā)現(xiàn)，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學生記憶深刻，充分體現(xiàn)了學生為主體，教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式：先讓學生觀察，問：你發(fā)現(xiàn)了什么？然后提問：怎樣變換，能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，再進一步提問：往兩邊各放1個杯子，天平會發(fā)生什么變化？生口答，驗證。接下去，繼續(xù)提問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還會保持平衡嗎？兩邊各放上同樣的一把茶壺呢？生答，再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下：
2、總結抽象，認識規(guī)律
通過上面的觀察，先用一句話歸納圖1和圖2的內容。（1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù)，等式不變。）再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。（2、等式的.兩邊都乘或除以相同的數(shù)（0除外）等式不變。）
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書：等式的基本性質
（三）鞏固練習，深化認識
練習題的設計，低起點，小臺階，循序漸進，符合學生接受知識的特點，培養(yǎng)了學生的靈活性，使學生獲得成功的滿足感。
1、根據(jù)圖（1）在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字，使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。（a、b均不為0）
（1） 如果x+a=b，那么x+a－a=b○
（2） 如果x－a=b，那么x－a+a=b○
（3） 如果ax=b，那么a x÷a=b○
（4） 如果x÷a =b，那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后，關注學生的學習體會和感受，提出：通過本節(jié)課的學習你有什么收獲？
等式的性質教學設計 7
備教材內容
1．本課時學習的是教材64～65頁的內容。
2．本課時學習的是等式的性質。教材首先提出問題，引起學生的探究興趣。然后通過插圖描繪了天平平衡的實驗操作，引導學生通過比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究等式的兩個基本性質。連環(huán)畫式的插圖，一方面提示教師可以怎樣演示，另一方面也為學生思考、感悟天平保持平衡的變化規(guī)律提供了直觀的觀察材料。
3．本課時內容是在學生了解了方程意義的基礎上進行學習的，本課時的學習為今后運用等式的性質解方程打下了堅實的理論基礎。
等式的意義
表示相等關系的式子叫等式。例如：22＋7＝29。
方程的意義
含有未知數(shù)的等式就是方程。例如：2x＋4＝8。
知識與技能
1．通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，使學生初步認識等式的基本性質。
2．利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
過程與方法
經(jīng)歷由天平秤物抽象出等式的性質的過程，體驗觀察、比較、分析的學習方法。
情感、態(tài)度與價值觀
1．培養(yǎng)學生認真觀察、積極思考的學習品質，增強學生的合作意識。
2．感受數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學的`應用意識。
備重點難點
重點：引導學生探索等式的性質。
難點：抽象歸納出等式的性質。
備知識講解
知識點一、等式的性質1
問題導入：在平衡的天平兩邊同時加上或減去同樣的物品，天平會發(fā)生什么變化？(教材64頁)
過程講解：
1．實驗演示一：在平衡的天平兩邊同時加上同樣的物品
(1)天平的左邊放1把茶壺，天平的右邊放2個茶杯，天平平衡。
如果1把茶壺重ag，1個茶杯重bg，那么上述過程可以用等式表示為a＝2b。
(2)在(1)中天平的兩邊同時各放上1個同樣的茶杯，天平仍保持平衡。說明1把茶壺和1個茶杯與3個茶杯同樣重。
上述過程可以用等式表示為a＋b＝2b＋b。
(3)探究：如果天平兩邊同時各放上2個同樣的茶杯，天平還會保持平衡嗎？天平兩邊同時各放上同樣的1把茶壺呢？
實驗結果表明：天平兩邊同時各放上2個同樣的茶杯，天平仍保持平衡；天平兩邊同時各放上同樣的1把茶壺，天平仍保持平衡。上述過程可以用等式分別表示為a＋2b＝2b＋2b，a＋a＝2b＋a。
(4)觀察分析。
(5)發(fā)現(xiàn)：等式兩邊同時加上同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。
等式的性質教學設計 8
【教材分析】
在新課程改革中，教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質是學生解方程的依據(jù)，它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質只是初步的認識，并沒有總結成概念性的東西，但學生實際運用時卻需要概念來作支撐，所以在教材中作了調整，讓學生通過觀察天平演示實驗，由具體實物之間的平衡關系抽象概括出等式的兩個基本性質就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎上進行教學的。，其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質，會利用等式的性質解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，初步認識等式的基本性質。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括.比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質，能根據(jù)具體情境列出相應的方程。
【數(shù)學思想】
轉化的思想，數(shù)形結合的思想，符號化的思想
【教學過程】
一.創(chuàng)設情境，引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師：同學們，你們做過天平游戲嗎？這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質。（板書課題：等式的性質）
達成目標：由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二.共同探索，總結方法
教師活動
學生活動及達成目標
（一）等式的基本性質一
1．出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖，并說一說：通過圖你知道了什么？
教師小結：1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問：如果設一個茶壺的重量是a克，1個茶杯的重量是b克，能用式子表示嗎？
（師板書）
引導學生思考：如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯，天平會發(fā)生什么變化呢？為什么？
教師先進行實際操作天平驗證，再演示這一過程，并明確：兩邊仍然相等。
提問：如果兩邊各放上2個茶杯，還保持平衡嗎？
兩邊各放同樣的一把茶壺呢？
2．出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
（1）如果用a表示一個花盆的重量，用b表示一個花瓶的重量，怎樣用等式來表示這幅圖呢？
（2）如果把兩邊都拿掉1個花瓶，天平還平衡嗎？讓學生嘗試用等式怎樣表示？
從圖上你能知道什么？（出示教材第64頁圖2第二個天平圖）
3．通過這幾個實驗，你發(fā)現(xiàn)了什么？
4．你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？
（二）等式的基本性質二
1．猜猜：除了向前面這樣的變化，天平仍保持平衡外，還可以怎么做能使天平保持平衡？
這時教師一定要及時強調：這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù)，并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)（O除外），會怎么樣呢？
2．出示教材第65頁圖1的第一個天平圖，讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量，用b表示鉛筆盒的重量，用式子怎樣表示？
猜一猜：左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍，右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍，天平還保持平衡嗎？
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的3倍.4倍呢？
3．出示教材第65頁圖2的第一個天平圖，讓學生觀察并說明知道了什么。
質疑：如果把兩邊的球都平均分成2份，各去掉一份，天平還能平衡嗎？
教師演示。
4．通過剛才的試驗，你發(fā)現(xiàn)了什么？
5.你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎？
6．為什么等式兩邊不能除以O?
①自主回答，學生可能會回答：天平的左邊放了一把茶壺，右邊放了兩個茶杯，天平保持平衡；這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出：a=2b
先猜一猜，學生可能會猜測出天平仍然平衡，因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結：實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量＝3個茶杯的`質量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子：a+b=2b+b
學生回答后，教師演示，并讓學生分別用式子表示：a+2b=2b+2ba+a=2b+a
②觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的？（平衡）
生嘗試寫出：a+b=4b
先猜一猜，再回答，平衡：a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
③學生思考后小結：平衡的天平兩邊加上同樣的物品，天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品，天平還保持平衡。
④學生歸納等式的性質1：等式兩邊加上或減去同一個數(shù)，左右兩邊仍然相等。
達成目標：通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品，天平仍然平衡。給學生思考.感悟天平保持平衡的變化規(guī)律，提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理，即等式的一條基本性質：等式兩邊加上或減去相等的數(shù)，等式不變。
1.如：學生猜測天平的兩邊同時放2個.3個杯子；同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明：
一瓶墨水的重量＝一盒鉛筆盒的重量
寫出等式：a=b。
學生猜測平衡后，教師進行實際天平操作，驗證學生的猜測。
學生用等式表示：2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出：
2個排球的質量＝6個皮球的質量
有了前面的經(jīng)驗學生用a表示排球的重量，用6表示皮球的重量，寫出等式：2a=6b。
學生猜測：平衡，并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn)：平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù)，天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一，天平仍然平衡。
5.學生歸納小結：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，左右兩邊仍然相等。
達成目標：等式基本性質2的推導在性質1的基礎上，讓學生自己通過實驗探究，運用知識的遷移得出，這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力，抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流，匯報：O不能做除數(shù)。
三.運用方法，解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正，注意學生列式計算時的取值是否正確。
四.反饋鞏固，分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎練習：利用等式的性質填空
1．如果2x-5=9，那么2x=9＋（）
2．如果5=10＋x，那么5x-()=10
3．如果3x=7，那么6x=（）
4．如果5x=15，那么x=（）
拓展練習：見課件
讓學生回憶等式的性質，再自主完成填空。
達成目標：等式的基本性質一是簡易方程部分重要的概念，不僅要理解，而且還要會應用。
五.課堂總結，提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些學習方法，你有什么收獲？你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的？
學生總結本節(jié)課的收獲，在梳理總結過程中提高學生對性質的認識和理解。
等式的性質教學設計 9
教學目標
1．理解同向不等式，異向不等式概念；
2．掌握并會證明定理1，2，3；
3．理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，定理3是移項法則的依據(jù)；
4．初步理解證明不等式的邏輯推理方法
教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程
教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法
教學方法：引導式
教學過程
一、復習回顧
上一節(jié)課，我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法，主要根據(jù)的是實數(shù)運算的符號法則，而這也是推證不等式性質的主要依據(jù)，因此，我們來作一下回顧：
這一節(jié)課，我們將利用比較實數(shù)的方法， 來推證不等式的性質
二、講授新課
在證明不等式的性質之前，我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念
1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式
異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式
2．不等式的性質：
定理1：若 ，則
定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性
證明
由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，得
說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數(shù)運算的符號法則的應用
定理2：若 ，且 ，則
證明：
根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得
∴ 說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)
定理3：若 ，則
定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.
證明
說明：
（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；
（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據(jù)定理3可得出：若 ，則 即
定理3推論：若
證明：
說明：
（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；
（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；
（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）
三、課堂練習
1．證明定理1后半部分；
2．證明定理3的逆定理.
說明：本節(jié)主要目的.是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行
課堂小結
通過本節(jié)學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法
課后作業(yè)
1．求證：若
2．證明：若
板書設計
§6.1.2 不等式的性質
1．同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
異向不等式
證明 證明 推論
2．定理1 證明 說明 說明 證明
第三課時
教學目標
1．熟練掌握定理1，2，3的應用；
2．掌握并會證明定理4及其推論1，2；
3．掌握反證法證明定理5.
教學重點：定理4，5的證明.
教學難點：定理4的應用.
教學方法：引導式
教學過程：
一、復習回顧
上一節(jié)課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.
（學生回答）
好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.
二、講授新課
定理4：若
若
證明：
根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負，得
當
說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；
（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變.
推論1：若
證明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；
（2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有 ，就推不出 的結論
（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向
推論2：若
說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；
（2）應強調學生注意n∈N 的條件
定理5：若
我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”
說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .
由推論2和定理1，當 時，有 ；
當 時，顯然有
這些都同已知條件 矛盾
所以 .
接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用
例2 已知
證明：由
例3 已知
證明：∵
兩邊同乘以正數(shù)
說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用
三、課堂練習
課本P7練習1，2，3
課堂小結
通過本節(jié)學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎
課后作業(yè)
課本習題6.1 4，5.
板書設計
§6.1.3 不等式的性質
定理4 推論1 定理5 例3 學生
內容 內容
證明 推論2 證明 例4 練習
等式的性質教學設計 10
教學內容：蘇教版教科書第7頁的內容。
教學目的：
⑴在具體的情景中，讓學生理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程，初步會用列方程解決一步計算的實際問題。
⑵在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，讓學生經(jīng)歷將情景問題抽象等式規(guī)律的過程，積累將現(xiàn)實問題數(shù)學化的經(jīng)驗，感受方程的思想方法及價值，發(fā)展抽象能力和推理能力。
⑶學生在數(shù)學活動的過程中，養(yǎng)成獨立思考、主動與他人合作交流等習慣，獲得成功的體驗，培養(yǎng)對數(shù)學的學習興趣。
教學流程：一、回憶導入，明確探究的目標。
⑴回憶推理。
說說等式性質1： “等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
再次推理：等式性質2——“等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
⑵明確探究的目標。
教師總結，引導學生們明確探究的話題——驗證等式性質2。
二、自主探究規(guī)律。
⑴自主看圖填空。
學生自主完成第7頁例5的看圖填空并根據(jù)圖意理解規(guī)律。
⑵舉例驗證。
方法：先寫一個等式，再兩邊同時乘或除同一個數(shù)，看看還是等式嗎？
⑶小結，感知規(guī)律的應用價值。
小結：等式的性質2：“等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的`性質。”
推想：在哪里會用到它？（解方程）
⑷學生舉例，學習解方程。
學生舉例，嘗試解方程。
在學生的介紹中，張揚用等式解方程的數(shù)學根據(jù)。
注意書寫格式；并驗算。
三、練習應用。
⑴完成練一練中的第1題。
⑵解決簡單的實際問題。
出示例6。
思路1：列方程解答。
40x＝960
x=24
思路2：用算式解答。
960÷40＝24（m）
⑶完成課堂作業(yè)。
練習二、3～4題
等式的性質教學設計 11
[教學內容]
五年級下冊第3～5頁例3、例4，“試一試”和“練一練”，練習一第4～6題。
[教材簡析]
這部分內容主要引導學生通過觀察、思考和交流，初步理解“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式”這一等式的兩條基本性質之一，初步學會運用這一性質解只含有加、減關系的一步方程。在此之前，學生已經(jīng)初步認識了等式與方程；在此之后，學生還將學習等式的另一條基本性質。學好這部分內容，有利于學生加深對方程特點的認識，體會初步的方程思想。教材在安排這部分內容時，主要有兩個特點，一是借助直觀幫助學生理解等式的性質；二是對解方程的步驟及規(guī)范做了較為細致的處理。設計教學時，教材一方面注意通過天平兩邊物體質量的變化以及變化前后天平兩邊的狀態(tài)，引導學生理解相關的等式性質；另一方面則注意充分利用學生已有的知識和經(jīng)驗，引導他們在用不同方法求未知數(shù)的過程中初步體會用等式性質解方程的便捷，并掌握相應的方法。
[教學目標]
1.使學生在具體情境中初步理解“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式”，會用這一性質解相關的方程。
2.使學生聯(lián)系具體的例子初步理解“方程的解”和“解方程”的含義，知道“方程的解”是一個結果，“解方程”是一個過程。
3.使學生在觀察、分析、抽象、概括等式的基本性質和交流的過程中，積累活動經(jīng)驗，感受方程思想，培養(yǎng)自覺檢驗的意識，發(fā)展初步的抽象思維能力。
[教學重點]
引導學生探索等式的性質，利用等式性質解相關的方程。
[教學難點]
結合具體情境，抽象歸納出“等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式”這一等式的性質。
[教學過程]
一、先扶后放，探究等式性質
1.談話：我們已經(jīng)認識了等式和方程。這節(jié)課，我們進一步學習與等式和方程有關的知識。
2.出示例3第一幅天平圖，提問：你能根據(jù)圖意寫出一個等式嗎？
根據(jù)學生的回答，板書：20=20。
引導：現(xiàn)在的天平是平衡的。如果在天平的一邊添上一個10克的砝碼，這時天平會怎樣？（失去平衡）要使天平恢復平衡，可以怎么辦？（在天平的'另一邊也添上一個10克的砝碼）
根據(jù)學生的回答，出示第二幅天平圖。
提出要求：現(xiàn)在天平平衡嗎？你能再用一個等式表示現(xiàn)在天平兩邊物體質量的關系嗎？同桌同學先互相說一說。
學生活動后，板書：20＋10＝20＋10。
啟發(fā)：請同學們比較這里的兩幅天平圖和相應的兩個等式，想一想，第二個等式和第一個等式相比，發(fā)生了怎樣的變化？從這樣的變化中你能想到什么？
3.出示例3第二組天平圖，提出要求：請同學們仔細觀察這里的兩幅天平圖，說一說天平兩邊物體的質量各是怎樣變化的。
學生回答后，進一步要求：你能根據(jù)天平兩邊物體質量的變化情況，分別列出一個等式嗎？
學生交流后板書：x＝50，x＋20＝50＋20。
啟發(fā)：比較這里的兩個等式，它們有什么聯(lián)系和區(qū)別？你又發(fā)現(xiàn)了什么？
學生討論后明確：等式兩邊同時加上同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。
【設計說明：第一組天平圖分步出示，第二組天平圖整體出示，有利于學生了解觀察活動的意圖，把握觀察和比較的重點，也有利于他們在此過程中逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進行必要的抽象概括。】
4.啟發(fā)猜想：如果等式兩邊同時減去一個相同的數(shù)，結果會怎樣呢？你能想辦法驗證自己的猜想嗎？分小組討論討論。
出示例3第三組和第四組天平圖，啟發(fā)學生觀察比較，分別說一說這兩組天平中物體的質量各是怎樣變化的。在此基礎上，引導他們用等式分別表示每個天平兩邊物體變化前與變化后的關系。
學生活動后組織交流，并板書相應的等式：
70＝70，70－20＝70－20
x＋20＝70，x＋20－20＝70－20。
啟發(fā)：請同學們比較這里的兩組天平圖和相應的兩組等式，它們的變化有什么共同特點？
明確：等式兩邊同時減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。
5.提出要求：剛才我們通過觀察天平圖，得到了兩個結論。你能把這兩個結論用一句話合起來說一說嗎？
學生交流后揭示：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。
6.做教科書第4頁“練一練”第1題。
先讓學生獨立完成，再指名說說填空的依據(jù)。
【設計說明：有了“等式兩邊同時加上同一個數(shù)，結果仍然是等式”這一結論，通常不難聯(lián)想到“等式兩邊同時減去同一個數(shù)，結果仍然是等式”。先放手讓學生去猜想，再引導他們想辦法驗證猜想，既留出了充分探索的空間，又體現(xiàn)了探索性學習的基本方法。學生探索后的觀察、比較，以及相應的抽象、概括，既是對此前猜想的進一步驗證，又是對相關等式性質的進一步感知，能為學生建立正確的理解提供堅實的基礎。讓學生及時應用等式性質進行填空練習，一方面是為了鞏固知識，另一方面也為接下來學習解方程做些鋪墊。】
二、師生合作，學習解方程
1.出示例4的天平圖，提出要求：你能根據(jù)天平兩邊物體質量的相等關系列出方程嗎？
根據(jù)學生的回答，板書：x＋10＝50。
啟發(fā)：怎樣才能求出方程中未知數(shù)x的值呢？你打算怎么做？把你的想法和小組里的同學商量商量。
學生活動后，組織交流，重點突出把方程兩邊都減去10，使方程左邊只剩下x。
2.介紹并示范解方程的過程：求方程中未知數(shù)x的值 時，要先寫“解：”，表示下面的過程是求未知數(shù)x的值的過程。再根據(jù)等式的性質在方程兩邊都減去10，求出方程中未知數(shù)x的值。書寫這一過程時，要注意把等號上下對齊。
引導：x＝40是不是正確的答案呢？我們可以通過檢驗來判斷，把x＝40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等。
提問：如果等式的左右兩邊相等，說明什么？（答案是正確的）如果不相等呢？（說明答案是錯誤的）請同學們用這樣的方法試著檢驗一下。（隨學生的回答扼要板書檢驗過程）
3.引導小結：像x＝40這樣，能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。而求方程的解的過程，叫做解方程。進一步要求：請同學們回憶剛才解方程的過程，你認為解方程時要注意什么？強調三點：正確應用等式性質、注意書寫規(guī)范、主動進行檢驗。
4.指導完成“試一試”：解方程x－30＝80。
揭示：要使方程的左邊只剩下x，可以怎么做？這樣做的依據(jù)是什么？
組織反饋時，注意提醒學生規(guī)范地書寫解方程的過程。
5.做教科書第4頁“練一練”第2題。
提問：解這里的方程時，分別怎樣做就可以使方程左邊只剩下x？
要求：請同學們用這樣的方法求出每道方程的解，并進行檢驗。
交流時讓學生再說一說解每道方程時第一步分別是怎樣做的，又是怎樣檢驗的。要求他們今后解方程時，都要進行檢驗，但檢驗的過程可以寫下來，也可以不寫。
【設計說明：學生看圖列出方程后，先鼓勵他們充分利用已有的知識經(jīng)驗自主探索求未知數(shù)x值的方法，再通過師生對話、示范板書，重點介紹用等式性質解方程的步驟和方法，既有利于保持學生主動學習的熱情，體現(xiàn)解決問題策略的多樣化，又有利于突出等式性質的應用。】
三、鞏固練習，內化新知
1.出示選擇題：
（1）x＋22＝78（x＝100，x＝56）
（2）x－2.5＝2.5（x＝0，x＝5）
說明：在每題的括號中有兩個備選答案，其中一個是左邊方程的解，另一個不是。
提出要求：你能在方程的解下面畫上橫線嗎？學生完成后組織交流，并相機明確：做出選擇時，可以先把左邊的方程解出來，也可以把兩個備選答案分別代入原方程從而確定哪個答案是方程的解。
2.做練習一第4題。
先讓學生說說每道方程中，要使左邊只剩下x，應該怎樣做？
3.做練習一第5題。
先讓學生獨立完成，再指名說說解方程時分別應用了等式的什么性質。
4.做練習一第6題。
先指名說說圖意，再組織學生交流推理過程。提醒學生：可以先在天平兩邊去掉相同個數(shù)的梨或橘子。
【設計說明：通過有層次、有針對性的練習，既使學生加深了對等式性質的理解，又使他們進一步體會“方程的解”和“解方程”等概念的實際意義，同時也突出解方程這一重點。】
四、全課總結，體驗收獲
通過今天這節(jié)課的學習，你知道了什么，學會了什么？有哪些收獲，還有什么不懂的問題？
[資料鏈接] 阿爾·花拉子米是阿拉伯的一位偉大的數(shù)學家，因為他在代數(shù)學方面做出過巨大貢獻，后人稱他為“代數(shù)學之父”。《還原和對消計算》是花拉子米著名的代數(shù)學著作。“還原”的意思是說在方程的一邊去掉一項就必須在另一邊加上這一項使之恢復平衡；“對消”是指把方程兩端的項消去或合并。例如，對方程5x－12＝4x－9兩邊分別加上12和9，做還原運算，得：5x＋9＝4x＋12；兩邊分別減去4x和9，做對消運算，結果得：x＝3。容易看出，所謂還原和對消就相當于現(xiàn)在解方程時的移項和合并同類項。
等式的性質教學設計 12
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點：
１.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點：
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中，同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎？
實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關系。
（下面利用電腦投影展示兩個實例）
實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6：某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢？
什么是不等式呢？
用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的研究，反過來作用于現(xiàn)實生活，這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經(jīng)過老師的啟發(fā)和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。
此時學生已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎么表示呢？
這兩位同學的觀點是否正確？
老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達。
（二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？
（下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達）
問題（二）：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？
是不是還有其他的思路？
為什么可以這樣設？
很好，請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式？
假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應當有什么樣的不等量關系呢？
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？
這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？
通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。
課堂小結：
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規(guī)范，并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè)：
第75頁習題3.1 A組4，5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、
|AB|-|AC|<|BC|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。
如果用表示速度，則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過點A作AC⊥平面于點C，則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本，則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二：可設雜志的單價提高了0.1n元，（n）
我只考慮單價的增量。
那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的.不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.
截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。
截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。
它們是同時滿足條件，應該是且的關系。由實際問題的意義，還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：
如果學生沒有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。
此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎？學生沒有了聲音，他們在思考著。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。
此時學生們在思考，時間長的話，老師要及時點撥。
讓學生知道，在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想，以形助數(shù)，下面有學生的聲音，有學生在討論，有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況，并且及時的加以指導。
此時學生已經(jīng)真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài)，老師再給出問題（三）使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。
【教學反思】(【設計說明】)
本節(jié)課內容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數(shù)學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題，鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。
等式的性質教學設計 13
（一）教學目標
1．知識與技能：使學生感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，在學生了解了一些不等式（組）產生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內容。
2.過程與方法：以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關系；
3．情態(tài)與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。
（二）教學重、難點
重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點：用不等式（組）正確表示出不等關系。
（三）教學設想
[創(chuàng)設問題情境]
問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。
問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據(jù)市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少2000本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？
分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20
問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？
分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..
根據(jù)題意，應有如下的不等關系：
（1）解得兩種鋼管的`總長度不能超過4000mm；
（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；
（3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負。
由以上不等關系，可得不等式組：
[練習]第82頁，第1、2題。
[知識拓展]
設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？
從實數(shù)的基本性質出發(fā)，可以證明下列常用的不等式的基本性質：
（1）
（2）
（3）
（4）
證明：
例1講解（第82頁）
[練習]第82頁，第3題。
[思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質：
[小結]：1.現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系；
2.利用不等式的有關基本性質研究不等關系；
[作業(yè)]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.
等式的性質教學設計 14
教學分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內容，應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
重點難點
教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.
實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果：
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a
應用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的'基本方法：作差，配方法.
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應讓學生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
∴a4-b4<4a3(a-b).
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;
當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結，從實數(shù)的基本性質的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應根據(jù)具體情況，選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y<0.
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當a>b>0時，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
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