初三數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的探究課件
一、 函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性探究
定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱(chēng)的充要條件是
f (x) + f (2a-x) = 2b
證明：(必要性)設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(2a-x，2b-y)也在y = f (x)圖像上， 2b-y = f (2a-x)
即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得證。
(充分性)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a-x) =2bf (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。
故點(diǎn)P(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱(chēng)，充分性得征。
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的充要條件是f (x) + f (-x) = 0
定理2.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱(chēng)的充要條件是
f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (證明留給讀者)
推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是f (x) = f (-x)
定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A (a ,c)和點(diǎn)B (b ,c)成中心對(duì)稱(chēng)(ab)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。
②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱(chēng)(ab)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a-b|是其一個(gè)周期。
③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱(chēng)又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱(chēng)(ab)，則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。
①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：
∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ,c) 成中心對(duì)稱(chēng)，
f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c(*)
又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱(chēng)，
f (2b-x) = f (x)代入(*)得：
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x](**)，用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a-b|是其一個(gè)周期。
二、 不同函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的探究
定理4.函數(shù)y = f (x)與y = 2b-f (2a-x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)成中心對(duì)稱(chēng)。
定理5.①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a-x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱(chēng)。
②函數(shù)y = f (x)與a-x = f (a-y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱(chēng)。
③函數(shù)y = f (x)與x-a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x-y = a成軸對(duì)稱(chēng)。
定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③
設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0)。記點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于直線x-y = a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x1， y1)，則x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) 點(diǎn)P(x1， y1)在函數(shù)x-a = f (
(y + a)的圖像上。
同理可證：函數(shù)x-a = f (y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y = a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。
推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的.圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱(chēng)。
三、 三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性列表
函 數(shù)
對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)
對(duì)稱(chēng)軸方程
y = sin x
( k, 0 )
x = k/2
y = cos x
( k/2 ,0 )
x = k
y = tan x
(k/2 ,0 )
無(wú)
注：①上表中kZ
②y = tan x的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)應(yīng)該是(k/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀(jì)高中數(shù)學(xué)精編第一冊(cè)(下)及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學(xué)新教案(修訂版)中都認(rèn)為y = tan x的所有對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是( k, 0 )，這明顯是錯(cuò)的。
四、 函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用舉例
例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5-x) = f (5+x),則f (x)一定是( )(第十二屆希望杯高二第二試題)
(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)
(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)
解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10-x).
f (x)有兩條對(duì)稱(chēng)軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱(chēng)軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。
故選(A)
例2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x-1)和g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱(chēng)，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。
(A) 1999; (B)2000; (C)2001;(D)2002。
解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱(chēng)，
y = g-1(x-2) 反函數(shù)是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), f(x-1) = 2 + g(x), 有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,應(yīng)選(C)
例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1-x),當(dāng)-10時(shí)，
f (x) = - x，則f (8.6 ) = _________ (第八屆希望杯高二第一試題)
解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對(duì)稱(chēng)軸;
又∵f(1+x)= f(1-x) x = 1也是y = f (x) 對(duì)稱(chēng)軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4.函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程是( )(92全國(guó)高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =
解：函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的所有對(duì)稱(chēng)軸的方程是2x + = k+
x = - ,顯然取k = 1時(shí)的對(duì)稱(chēng)軸方程是x = - 故選(A)
例5. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= -f(x),當(dāng)01時(shí)，
f (x) = x，則f (7.5 ) = ( )
(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)(0，0)是其對(duì)稱(chēng)中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，直線x = 1是y = f (x) 對(duì)稱(chēng)軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。
f (7.5 )
= f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故選(B)
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