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    高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

    時間:2021-06-10 18:47:25 試題 我要投稿

    高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

      一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.

    高三數學不等式、推理與證明訓練試題集

      1.下列符合三段論推理形式的為( )

      A.如果pq,p真,則q真

      B.如果bc,ab,則ac

      C.如果a∥b,b∥c 高考,則a∥c

      D.如果a>b,c>0,則ac>bc

      解析:由三段論的推理規(guī)則可以得到B為三段論.

      答案:B

      2.類比平面內正三角形的“三邊相等,三內角相等”的性質,可推出正四面體的下列性質,你認為比較恰當的是( )

      ①各棱長相等,同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等;

      ②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角都相等;③各面都是面積相等的三角形,同一頂點上的任意 兩條棱的夾角都相等.

      A.① B.② C.①②③ D.③

      解析:由類比原理和思想,①②③都是合理、恰當的.

      答案:C

      3.用反證法證明命題“2+3是無理數”時,假設正確的是( )

      A.假設2是有理數 B.假設3是有理數

      C.假設2或3是有理數 D.假設2+3是有理數

      解析:假設結論的反面成立,2+3不是無理數,則2+3是有理數.

      答案:D

      4.已知ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,則a1b1+a2b2+…+anbn的最大值為( )

      A.1 B.2 C.n2 D.2n

      解析:此結論為“a,b,c,d∈R,a2+b2=1,c3+d2=1,則ac+bd≤a2+c22+b2+d22=1”的推廣,類比可得a1b1+a2b2+…+anbn≤a12+b122+a22+b222+…+an2+bn22=1.

      答案:A

      5.在下列函數中,最小值是2的是( )

      A.y=x2+2x

      B.y=x+2x+1(x>0)

      C.y=sinx+1sinx,x∈(0,π2)

      D.y=7x+7-x

      解析:A中x的取值未限制,故無最小值.

      D中,∵y=7x+7-x=7x+17x≥2,等號成立的條件是x=0.

      B、C選項均找不到等號成立的條件.

      答案:D

      6.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集為{x-1<x<13},則ab的值為( )

      A.-6 B.6 C.-5 D.5

      解析:∵ax2+bx+1>0的解集是{x-1<x<13},

      ∴-1,13是方程ax2+bx+1=0的兩根,

      ∴-1+13=-ba-1×13=1ab=-2,a=-3,∴ab=-3×(-2)=6.

      答案:B

      7.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是( )

      A.2 B.22 C.4 D.5

      解析:因為1a+1b+2ab≥21ab+2ab=21ab+ab≥4,當且僅當1a=1b,且 1ab=ab,即a=b=1時,取“=”.

      答案:C

      8.在直角坐標系中,若不等式組y≥0,y≤2x,y≤k(x-1)-1,表示一個三角形區(qū)域,則實數k的取值范圍是( )

      A.(-∞,-1) B.(-1,2)

      C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(2,+∞)

      解析:先作出y≥0,y≤2x,的平面區(qū)域如圖:

      若k=0時,顯然不能與陰影部分構成三角形.

      若k>0,將陰影部分的點如(0,0)代入y≤k(x-1)-1,有0≤-k-1,顯然不能與陰影部分構成三角形,所以k<0;又y=k(x-1)-1是過定點(1,-1)的直線,由圖知,若與陰影部分構成三角形,則有-k-1>0,

      故k<-1時,原不等式組能構成三角形區(qū)域.

      答案:A

      9.如果a>b,給出下列不等式,其中成立的是( )

      (1)1a<1b; (2)a3>b3;

      (3)a2+1>b2+1; (4)2a>2b.

      A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)

      解析:∵a、b符號不定,故(1)不正確,(3)不正確.

      ∵y=x3是增函數,∴a>b時,a3>b3,故(2)正確.

      ∴y=2x是增函數,∴a>b時,2a>2b,故(4)正確.

      答案:D

      10.設函數f(x)=-3 (x>0),x2+bx+c (x≤0),若f(-4)=f(0),f(-2)=0,則關于x的不等式f(x)≤1的解集為( )

      A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1]

      C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)

      解析:當x≤0時,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故對稱軸為x=-b2=-2,∴b=4.

      又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,

      令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;

      當x>0時,f(x)=-2≤1顯然成立.

      故不等式的解集為[-3,-1]∪(0,+∞).

      答案:C

      11.若直線2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圓x2+y2-2x-4y-6=0,則2a+1b的最小值是( )

      A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-22

      解析:由x2+y2-2x-4y-6=0得

      (x-1)2+(y-2)2=11,

      若2ax+by-2=0平 分圓,

      ∴2a+2b-2=0,∴a+b=1,

      ∴2a+1b=2(a+b)a+a+bb=3+2ba+ab

      ≥3+2 2baab=3+22,

      當且僅當2ba=ab,且a+b=1,即a=2-2,b=2-1時取等號.

      答案:C

      12.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比,如果在距離車站10 km處建倉庫,這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站( )

      A.5 km處 B.4 km處

      C.3 km處 D.2 km處

      解析:由題意可設y1=k1x,y2=k2x,∴k1=xy1,k2=y(tǒng)2x,

      把x=10,y1=2與x=10,y2=8分別代入上式得k1=20,k2=0.8,

      ∴y1=20x ,y2=0.8x(x為倉庫到車站的距離),

      費用之和y=y(tǒng)1+y2=0.8x+20x≥2 0.8x20x=8,

      當且僅當0.8x=20x,即x=5時等號成立,故選A.

      答案:A

      第Ⅱ卷 (非選擇 共90分)

      二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分,共20分.

      13.如下圖,對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如下方式的“分裂”:

      仿此,52的“分裂”中最大的數是 ,53的“分裂”中最小的數是 .

      解析:由已知中“分裂”可得

      故“52”的“分裂”中最大的數是9,53的“分裂”中最小的數是21.

      答案:9 21

      14.由圖①有面積關系:S△PA′B′S△PAB=PA′PB′PAPB,則由圖②有體積關系:VP-A′B′C′VP-ABC=__________.

      解析:設三棱錐C′-PA′B′的高為h′,

      15.已知等比數列{an}中,a2>a3=1,則使不等式a1-1a1+a2-1a2+a3-1a3+…+an-1an≥0成立的.最大自然數n是__________.

      解析:∵a2>a3=1,∴0<q=a1a2<1,a1=1q2>1,

      a1-1a1+a1-1a2+a3-1a1+…+an-1an

      =(a1+a2+…+an)-1a1+1a2+…+1an

      =a1(1-qn)1-q-1a11-1qn1-1q=a1(1-q4)1-q-q(1-qn)a1(1-q)qn≥0,

      ∴a1(1-qn)1-q≥q(1-qn)a1(1-q)qn.

      因為0 <q<1,所以,化簡得:a12≥1qn-1,即q4≤qn-1,

      ∴4≥n-1,n≤5,所以n的最大值為5.

      答案:5

      16.設實數x,y滿足x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,則u=y(tǒng)x-xy的取值范圍是__________.

      解析:作出x,y滿足的可行域如圖中陰影部分所示,可得可行域內的點與原點連線的斜率的取值范圍是13,2,

      即yx∈13,2,故令t=y(tǒng)x,

      則u=t-1t,根據函數u=t-1t在t∈13,2上單調遞增,得u∈-83,32.

      答案:-83,32

      三、解答題:本大題共6小題,共7 0分.

      17.(10分)在三角形中有下面的性質:

      (1)三角形的兩邊之和大于第三邊;

      (2)三角形的中位線等于第三邊的一半;

      (3)三角形的三條內角平分線交于一點,且這個點是三角形的內心;

      (4)三角形的面積為S=12(a+b+c)r(r為三角形內切圓半徑,a、b、c為三邊長).

      請類比出四面體的有關相似性質.

      解析:(1)四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積;

      (2)四面體的中位面(過三條棱的中點的面)的面積等于第四個面的面積的四分之一;新課]

      (3)四面體的六個二面角的平分面交于一點,且這個點是四面體內切球的球心;

      (4)四面體的體積為V =13(S1+S2+S3+S4)r(r為四面體內切球的半徑,S1、S2、S3、S4為四面體的四個面的面積).

      18.(12分)已知a>0,b>0,求證b2a+a2b≥a+b.

      解析:b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b

      =(b+a)(b-a)a+(a+b)(a-b)b

      =(a-b)(a+b)1b-1a=1ab(a-b)2(a+b),

      ∵a>0,b>0,∴b2a+a2b≥a+b.

      19.(12分)為響應國家擴大內需的政策,某廠家擬在2009年舉行促銷活動,經調查測算,該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足x=4-k2t+1(k為常數).如果不搞促銷活動,則該產品的年銷量只能是1萬件.已知2009年生產該產品的固定投入為6萬元,每生產1萬件該產品需要再投入12萬元,廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分).

      (1)將該廠家2009年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數;

      (2)該廠家2009年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大?

      解析:(1)由題意有1=4-k1,得k=3,故x=4-32t+1.

      ∴y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t

      =3+6x-t=3+64-3t-1-t

      =27-182t+1-t(t≥0).

      (2)由(1)知:

      y=27-182t+1-t=27.5-9t+12+t+12.

      由基本不等式

      9t+12+t+12≥29t+12t+12=6,

      當且僅當9t+12=t+12,

      即t=2.5時,等號成立,

      故y=27-182t+1-t

      =27.5-9t+12+t+12≤27.5-6=21.5.

      當t=2.5時,y有最大值21.5.所以2009年的年促銷費用投入2.5萬元時,該廠家利潤最大.

      20.(12分)設數列{an}的前n項和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….

      (1)求a1,a2;

      (2)猜想數列{Sn}的通項公式.

      解析:(1)當n=1時,

      x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,

      于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.

      當n=2時,x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-12,

      于是a2-122-a2a2-12-a2=0,

      解得 a2=16.

      (2)由題設(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,

      Sn2-2Sn+1-anSn=0.

      當n≥2時,an=Sn-Sn-1,代 入上式得

      Sn-1Sn-2Sn+1=0①

      由(1)得S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23.

      由①可得S3=34,由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,….

      21.(12分)設二次函數f(x)=ax2+b x+c的一個零點是-1,且滿足[f(x)-x]f(x)-x2+12≤0恒成立.

      (1)求f(1)的值;

      (2)求f(x)的解析式;

      解析:(1)由均值不等式得x2+12≥2x2=x,

      若[f(x)-x]f(x)-x2+12≤0恒成立,

      即x≤f(x)≤x2+12恒成立,

      令x=1得1≤f(1)≤12+12=1,故f(1)=1.

      (2)由函數零點為-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,

      又由(1)知a+b+c=1,所以解得a+c=b=12.

      又f(x)-x=ax2+12x+c-x=ax2-12x+c,

      因為f(x)-x≥0恒成立,所以Δ=14-4ac≤0,

      因此ac≥116①

      于是a>0,c>0.再由a+c=12,

      得ac≤c+a22=116②

      故ac=116,且a=c=14,

      故f(x)的解析式是f(x)=14x2+12x2+12x+14.

      22.(12分)某少數民族的刺繡有著悠久的,下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構成,小正方形數越多刺繡 越漂亮,現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.

      (1)求出f(5);

      (2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關系,并根據你得到的關系式求f(n)的表達式.

      解析:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,

      ∴f(5)=25+4×4=41.

      (2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,

      f(3)-f(2)=8=4×2,

      f(4)-f(3)=12=4×3,

      f(5)-f(4)=16=4×4,

      由上式規(guī)律得出f(n+1)-f(n)=4n.

      ∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),

      f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),

      f(n-2)-f(n-3)=4(n-3),

      …

      f(2)-f(1)=4×1,

      ∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]

      =2(n-1)n,

      ∴f(n)=2n2-2n+1.

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