全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題（A卷）

　　高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽篇一：2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

　　一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分

　　1.設(shè)a,b為不相等的實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)f(x)?x2?ax?b滿足f(a)?f(b)，則f(2)的值為2.若實(shí)數(shù)?滿足cos??tan?，則1?cos4?的值為sin?

　　3.已知復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}滿足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,3,?)，其中i為虛數(shù)單位，zn表示zn的共軛復(fù)數(shù)，則z2015的值為4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,邊DC（包含點(diǎn)D,C）上的動點(diǎn)P與CB延長線上（包含

　　點(diǎn)B）的動點(diǎn)Q滿足DP?BQ,則向量PA與向量PQ的數(shù)量積PA?PQ的最小值為

　　5.在正方體中隨機(jī)取3條棱，它們兩兩異面的概率為

　　6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為

　　7.設(shè)?為正實(shí)數(shù)，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，則?的取值范圍是

　　8.對四位數(shù)abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，則稱abcd為P類數(shù)，若a?b,b?c,c?d，則稱abcd為Q類數(shù)，用N(P),N(Q)分別表示P類數(shù)與Q類數(shù)的個數(shù)，則N(P)?N(Q)的值為??

　　二、解答題：本大題共3小題，滿分56分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

　　9.（本題滿分16分）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a?4b?2c,4a?2b?4c，求c的最小值.

　　10.（本題滿分20分）設(shè)a1,a2,a3,a4是4個有理數(shù)，使得

　　31??aa1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值.?ij??28??

　　x2

　　11.（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1,F2分別是橢圓?y2?1的左、右焦點(diǎn)，2

　　設(shè)不經(jīng)過焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓交于兩個不同的點(diǎn)A,B，焦點(diǎn)F2到直線l的距離為d，如果直線AF1,l,BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求d的取值范圍.

　　2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A卷）

　　一、（本題滿分40分）設(shè)a1,a2,?,an(n?2)是實(shí)數(shù)，證明：可以選取?1,?2,?,?n??1,?1?，使?????n2?得??ai?????iai??(n?1)??ai?.?i?1??i?1??i?1?

　　二、（本題滿分40分）設(shè)S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n個互不相同的有限集合

　　（n?2），滿足對任意的Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.證明：存在x??Ai，1?i?ni?1nn2n2使得x屬于A1,A2,?,An中的至少n個集合（這里X表示有限集合X的元素個數(shù)）.k?上一點(diǎn)，點(diǎn)K在線段AP上，使得三、（本題滿分50分）如圖，?ABC內(nèi)接于圓O，P為BC

　　BK平分?ABC，過K,P,C三點(diǎn)的圓?與邊AC交于D，連接BD交圓?于點(diǎn)E，連接PE并延長與邊AB交于點(diǎn)F.證明：?ABC?2?FCB.（解題時請將圖畫在答卷紙上）

　　四、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)k：

　　(kn)!對任意正整數(shù)n，2(k?1)n?1不整除.

　　n!

　　高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽篇二：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽基本知識集錦

　　高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽基本知識集錦

　　一、三角函數(shù)

　　常用公式

　　由于是講競賽，這里就不再重復(fù)過于基礎(chǔ)的東西，例如六種三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式等等。但是由于現(xiàn)在的教材中常用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎(chǔ)的開始（這些必須熟練掌握）：

　　半角公式

　　sin?

　　2??1?cos2

　　cos?1?cos?

　　2??2

　　tan?1?cos?

　　2??1?cos??1?cos?sin?

　　sin??1?cos?

　　積化和差

　　sin?cos??1

　　2?sin??????sin??????

　　cos?sin??1

　　2?sin??????sin??????

　　cos?cos??1

　　2?cos??????cos??????

　　sin?sin???1

　　2?cos??????cos??????

　　和差化積

　　sin??sin??2sin???

　　2cos???

　　2

　　sin??sin??2cos??????

　　2sin2

　　cos??cos??2cos??????

　　2cos2

　　cos??cos???2sin??????

　　2sin2

　　萬能公式

　　sin2??2tan?

　　1?tan2?

　　1?tan2

　　cos2???

　　1?tan2?

　　tan2??2tan?

　　1?tan2?

　　三倍角公式

　　sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???

　　cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???

　　二、某些特殊角的三角函數(shù)值

　　????????

　　三、三角函數(shù)求值

　　給出一個復(fù)雜的式子，要求化簡。這樣的題目經(jīng)常考，而且一般化出來都是一個具體值。要熟練應(yīng)用上面的常用式子，個人認(rèn)為和差化積、積化和差是競賽中最常用的，如果看到一些不常用的角，應(yīng)當(dāng)考慮用和差化積、積化和差，一般情況下直接使用不了的時候，可以考慮先乘一個三角函數(shù)，然后利用積化和差化簡，最后再把這個三角函數(shù)除下去

　　舉個例子

　　2?4?6??cos?cos777

　　2?提示：乘以2sin，化簡后再除下去。7求值：cos

　　求值：cos10??cos50??sin40?sin80?

　　來個復(fù)雜的

　　設(shè)n為正整數(shù)，求證22?sin

　　i?1ni?2n?1?2n?12n

　　另外這個題目也可以用復(fù)數(shù)的知識來解決，在復(fù)數(shù)的那一章節(jié)里再講

　　四、三角不等式證明

　　最常用的公式一般就是：x為銳角，則sinx?x?tanx；還有就是正余弦的有界性。例

　　求證：x為銳角，sinx+tanx<2x

　　設(shè)x?y?z??

　　12，且x?y?z??

　　2，求乘積cosxsinycosz的最大值和最小值。

　　注：這個題目比較難

　　數(shù)列

　　關(guān)于數(shù)列的知識可以說怎么學(xué)怎么有，還好我們只是來了解競賽中最基本的一些東西，不然我可寫不完了。?

　　1給遞推式求通項公式

　　(1)常見形式即一般求解方法

　　注：以下各種情況只需掌握方法即可，沒有必要記住結(jié)果，否則數(shù)學(xué)就變成無意義的機(jī)械勞動了。

　　①an?1?pan?q

　　若p=1，則顯然是以a1為首項，q為公差的等差數(shù)列，

　　若p≠1，則兩邊同時加上qq，變?yōu)閍n?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????

　　顯然是以a1?q為首項，p為公比的等比數(shù)列p?1

　　②an?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常數(shù)

　　若p=1，則顯然an=a1+?f?i?，n≥2

　　i?1n?1

　　若p≠1，則兩邊同時除以pn+1，變形為an?1anf?n???n?1nn?1ppp

　　n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用疊加法易得n???i?1，從而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??

　　注：還有一些遞推公式也可以用一般方法解決，但是其他情況我們一般使用其他更方便的方法，下面我們再介紹一些屬于數(shù)學(xué)競賽中的“高級方法”。

　　(2)不動點(diǎn)法

　　當(dāng)f(x)=x時，x的取值稱為不動點(diǎn)，不動點(diǎn)是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d

　　注：我感覺一般非用不動點(diǎn)不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。

　　我們?nèi)绻�用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復(fù)雜，如果用不動點(diǎn)的方法，此題就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d

　　令此方程的兩個根為x1，x2，

　　若x1=x2

　　則有

　　11??pan?1?x1an?x1

　　其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項公式求解。

　　注：如果有能力，可以將p的表達(dá)式記住，p=

　　若x1≠x2則有2ca?d

　　an?1?x1a?x1?q?n

　　an?1?x2an?x2

　　其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項公式求解。

　　注：如果有能力，可以將q的表達(dá)式記住，q=a?cx1a?cx2

　　(3)特征根法

　　特征根法是專用來求線性遞推式的好方法。

　　先來了解特征方程的一般例子，通過這個來學(xué)會使用特征方程。

　　①an?2?pan?1?qan

　　特征方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2

　　nn則其通項公式為an?A?x1，A、B用待定系數(shù)法求得。?B?x2

　　②an?3?pan?2?qan?1?ran

　　特征方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3

　　nnn則其通項公式為an?A?x1，A、B、C用待定系數(shù)法求得。?B?x2?C?x3

　　注：通過這兩個例子我們應(yīng)當(dāng)能夠得到特征方程解線性遞歸式的一般方法，可以試著寫出對于一般線性遞歸式的特征方程和通項公式，鑒于3次以上的方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。

　　(4)數(shù)學(xué)歸納法

　　簡單說就是根據(jù)前幾項的規(guī)律猜出一個結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法去證。這樣的題雖說有不少但是要提高不完全歸納的水平實(shí)在不易。大家應(yīng)當(dāng)都會用數(shù)學(xué)歸納法，因此這里不詳細(xì)說了。但需要記得有這樣一個方法，適當(dāng)?shù)臅r候可以拿出來用。

　　(5)聯(lián)系三角函數(shù)

　　三角函數(shù)是個很奇妙的.東西，看看下面的例子

　　an?1?2an21?an

　　看起來似乎摸不著頭腦，只需聯(lián)系正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。

　　注：這需要我們對三角函數(shù)中的各種公式用得很熟，這樣的題目競賽書中能見到很多。

　　例

　　數(shù)列?an?定義如下：a1?2，求?an?通項2，an?1?2?4?an

　　注：這個不太好看出來，試試大膽的猜想，然后去驗(yàn)證。

　　(6)迭代法

　　先了解迭代的含義

　　f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??

　　f右上角的數(shù)字叫做迭代指數(shù)，其中f

　　再來了解復(fù)合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函數(shù)

　　f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???

　　如果設(shè)F?x??g?1?f?g?x?，則Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以將求F(x)的迭代轉(zhuǎn)變?yōu)榍骹(x)的迭代。這個公式很容易證明。使用迭代法求值的基礎(chǔ)。

　　而在數(shù)列中我們可以將遞推式看成an?1?F?an?，因此求通項和求函數(shù)迭代就是一樣的了。我們盡量找到好的g(x)，以便讓f(x)變得足夠簡單，這樣求f(x)的n次迭代就很容易得到了。從而再得到F(x)的n次迭代式即為通項公式。

　　練習(xí)

　　?an?滿足a1?1，a2?2，a2n?1?已知數(shù)列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，試求數(shù)列的2

　　通項公式。

　　注：此題比較綜合，需熟練掌握各種求通項公式的常用方法。

　　下面是我的一個原創(chuàng)題目

　　已知數(shù)列?an?滿足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求該數(shù)列的通項公式。

　　2數(shù)列求和

　　求和的方法很多，像裂項求和，錯位相減等等，這些知識就算單純應(yīng)付高考也應(yīng)該都掌握了，這里不再贅述。主要寫競賽中應(yīng)當(dāng)掌握的方法——阿貝爾恒等式。

　　阿貝爾（Abel）恒等式

　　有多種形式，最一般的是

　　?ab??S?bkkk

　　k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn

　　其中Sk??a

　　i?1kk

　　注：個人認(rèn)為，掌握這一個就夠了，當(dāng)然還有更為一般的形式，但是不容易記，也不常用。

　　高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽篇三：2014全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

　　2014全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

　　一、填空題

　　1、若正數(shù)a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),則

　　11

　　?的值為__________ab

　　2、設(shè)集合{?b|1?a?b?2}中的最大值與最小值分別為M,m，則M?m=_________3、若函數(shù)f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為_______4、數(shù)列{an}滿足a1?2,an?1?

　　3a

　　2(n?2)a2014

　　an(n?N?)，則=_________n?1a1?a2?...?a2013

　　5、已知正四棱錐P?ABCD中，側(cè)面是邊長為1的正三角形，M,N分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，則異面直線MN與PC之間的距離是_____________

　　6、設(shè)橢圓?的兩個焦點(diǎn)是F1,F2，過點(diǎn)F1的直線與?交于點(diǎn)P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且

　　3|PF1|?4|QF1|，則橢圓?的短軸與長軸的比值為__________

　　7、設(shè)等邊三角形ABC的內(nèi)切圓半徑為2，圓心為I。若點(diǎn)P滿足PI?1，則?ABC與

　　?APC的面積之比的最大值為__________8、設(shè)A,B,C,D是空間四個不共面的點(diǎn)，以

　　1

　　的概率在每對點(diǎn)之間連一條邊，任意兩點(diǎn)之2

　　間是否連邊是相互獨(dú)立的，則A,B可用（一條邊或者若干條邊組成的）空間折線連接的概率是__________

　　二、解答題

　　P是不在x軸上一個動點(diǎn)，9、平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足條件：過P可作拋物線y?4x

　　的兩條切線，兩切點(diǎn)連線lP與PO垂直。設(shè)直線lP與PO，x軸的交點(diǎn)分別為Q,R，（1）證明：R是一個頂點(diǎn)（2）球

　　2

　　|PQ|

　　的最小值|QR|

　　10、數(shù)列{an}滿足a1?

　　?

　　,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整數(shù)m，使得

　　6

　　sina11sina2......sianm?

　　100

　　11、確定所有的復(fù)數(shù)?，使得對任意的復(fù)數(shù)z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2

　　|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有

　　（

　　2014全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試

　　一、（本題滿分40分）設(shè)a,b,c?R，滿足a?b?c?1，abc?0，

　　求證：bc?ca?ab?

　　abc1

　　?24

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