簡單的線性規(guī)劃問題檢測試題

　　1.目標函數(shù)z=4x+y，將其看成直線方程時，z的幾何意義是(  )

　　A.該直線的截距

　　B.該直線的縱截距

　　C.該直線的橫截距

　　D.該直線的縱截距的相反數(shù)

　　解析：選B.把z=4x+y變形為y=-4x+z，則此方程為直線方程的斜截式，所以z為該直線的縱截距.

　　2.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，則z=x-y的最大值為(  )

　　A.-1            B.1

　　C.2   D.-2

　　答案：B

　　3.若實數(shù)x、y滿足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，則s=x+y的最大值為________.

　　解析：可行域如圖所示，

　　作直線y=-x，當平移直線y=-x

　　至點A處時，s=x+y取得最大值，即smax=4+5=9.

　　答案：9

　　4.已知實數(shù)x、y滿足y≤2xy≥-2x.x≤3

　　(1)求不等式組表示的平面區(qū)域的面積;

　　(2)若目標函數(shù)為z=x-2y，求z的最小值.

　　解：畫出滿足不等式組的可行域如圖所示：

　　(1)易求點A、B的坐標為：A(3,6)，B(3，-6)，

　　所以三角形OAB的面積為：

　　S△OAB=12×12×3=18.

　　(2)目標函數(shù)化為：y=12x-z2，畫直線y=12x及其平行線，當此直線經(jīng)過A時，-z2的值最大，z的值最小，易求A 點坐標為(3,6)，所以，z的最小值為3-2×6=-9.

　　一、選擇題

　　1.z=x-y在2x-y+1≥0x-2y-1≤0 x+y≤1的線性約束條件下，取得最大值的可行解為(  )

　　A.(0,1)   B.(-1，-1)

　　C.(1,0)   D.(12，12)

　　解析：選C.可以驗證這四個點均是可行解，當x=0，y=1時，z=-1;當x=-1，y=-1時，z=0;當x=1，y=0時，z=1;當x=12，y=12時，z=0.排除A，B，D.

　　2.(2010年高考浙江卷)若實數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-y+1≥0，則x+y的最大值為(  )

　　A.9   B.157

　　C.1   D.715

　　解析：選A.畫出可行域如圖：

　　令z=x+y，可變?yōu)閥=-x+z，

　　作出目標函數(shù)線，平移目標函數(shù)線，顯然過點A時z最大.

　　由2x-y-3=0，x-y+1=0，得A(4,5)，∴zmax=4+5=9.

　　3.在△ABC中，三頂點分別為A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，點P(x，y)在△ABC內(nèi)部及其邊界上運動，則m=y-x的取值范圍為(  )

　　A.[1,3]   B.[-3,1]

　　C.[-1,3]   D.[-3，-1]

　　解析：選C.直線m=y-x的斜率k1=1≥kAB=23，且k1=1

　　∴直線經(jīng)過C時m最小，為-1，

　　經(jīng)過B時m最大，為3.

　　4.已知點P(x，y)在不等式組x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)運動，則z=x-y的取值范圍是(  )

　　A.[-2，-1]   B.[-2,1]

　　C.[-1,2]   D.[1,2]

　　解析：選C.先畫出滿足約束條件的可行域，如圖陰影部分，

　　∵z=x-y，∴y=x-z.

　　由圖知截距-z的范圍為[-2，1]，∴z的范圍為[-1,2].

　　5.設動點坐標(x，y)滿足x-y+1x+y-4≥0，x≥3，y≥1.則x2+y2的最小值為(  )

　　A.5   B.10

　　C.172   D.10

　　解析：選D.畫出不等式組所對應的平面區(qū)域，由圖可知當x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.

　　6.(2009年高考四川卷)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是(  ) w  w w .x k b 1.c o m

　　A.12萬元   B.20萬元

　　C.25萬元   D.27萬元

　　解析：選D.設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，則獲得的利潤為z=5x+3y.

　　由題意得

　　x≥0，y≥0，3x+y≤13，2x+3y≤18，可行域如圖陰影所示.

　　由圖可知當x、y在A點取值時，z取得最大值，此時x=3，y=4，z=5×3+3×4=27(萬元).

　　二、填空題

　　7.點P(x，y)滿足條件0≤x≤10≤y≤1，y-x≥12則P點坐標為________時，z=4-2x+y取最大值________.

　　解析：可行域如圖所示，新課標第一網(wǎng)

　　當y-2x最大時，z最大，此時直線y-2x=z1，過點A(0,1)，(z1)max=1，故當點P的坐標為(0,1)時z=4-2x+y取得最大值5.

　　答案：(0,1) 5

　　8.已知點P(x，y)滿足條件x≥0y≤x2x+y+k≤0(k為常數(shù))，若x+3y的最大值為8，則k=________.

　　解析：作出可行域如圖所示：

　　作直線l0∶x+3y=0，平移l0知當l0過點A時，x+3y最大，由于A點坐標為(-k3，-k3).∴-k3-k=8，從而k=-6.

　　答案：-6

　　9.(2010年高考陜西卷)鐵礦石A和B的含鐵率a，，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：

　　a b/萬噸 c/百萬元

　　A 50% 1 3

　　B 70% 0.5 6

　　某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為________(百萬元).

　　解析：設購買A、B兩種鐵礦石分別為x萬噸、y萬噸，購買鐵礦石的費用為z百萬元，則z=3x+6y.

　　由題意可得約束條件為12x+710y≥1.9，x+12y≤2，x≥0，y≥0.

　　作出可行域如圖所示：

　　由圖可知，目標函數(shù)z=3x+6y在點A(1,2)處取得最小值，zmin=3×1+6×2=15

　　答案：15

　　三、解答題

　　10.設z=2y-2x+4，式中x，y滿足條件0≤x≤10≤y≤22y-x≥1，求z的最大值和最小值.

　　解：作出不等式組0≤x≤10≤y≤22y-x≥1的可行域(如圖所示).

　　令t=2y-2x則z=t+4.

　　將t=2y-2x變形得直線l∶y=x+t2.

　　則其與y=x平行，平移直線l時t的值隨直線l的上移而增大，故當直線l經(jīng)過可行域上的點A時，t最大，z最大;當直線l經(jīng)過可行域上的點B時，t最小，z最小.

　　∴zmax=2×2-2×0+4=8，

　　zmin=2×1-2×1+4=4.

　　11.已知實數(shù)x、y滿足約束條件x-ay-1≥02x+y≥0x≤1(a∈R)，目標函數(shù)z=x+3y只有當x=1y=0時取得最大值，求a的取值范圍.

　　解：直線x-ay-1=0過定點(1,0)，畫出區(qū)域2x+y≥0，x≤1，讓直線x-ay-1=0繞著(1, 0)旋轉(zhuǎn)得到不等式所表示的平面區(qū)域.平移直線x+3y=0，觀察圖象知必須使直線x-ay-1=0的斜率1a>0才滿足要求，故a>0.

　　12.某家具廠有方木料90 m3 ，五合板600 m2，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2;生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一張方桌可獲利潤80元;出售一個書櫥可獲利潤120元.

　　(1)如果只安排生產(chǎn)方桌，可獲利潤多少?

　　(2)如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少?

　　(3)怎樣安排生產(chǎn)可使所獲利潤最大?

　　解：由題意可畫表格如下：

　　方木料(m3) 五合板(m2) 利潤(元)

　　書桌(個) 0.1 2 80

　　書櫥(個) 0.2 1 120

　　(1)設只生產(chǎn)書桌x張，可獲利潤z元，

　　則0.1x≤902x≤600x∈N*x≤900x≤300x∈N*x≤300，x∈N*.

　　目標函數(shù)為z=80x.

　　所以當x=300時，zmax=80×300=24000(元)，

　　即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元.

　　(2)設只生產(chǎn)書櫥y個，可獲利潤z元，則

　　0.2y≤901y≤600y∈N*y≤450y≤600y∈N*y≤450，y∈N*.

　　目標函數(shù)為z=120y.

　　所以當y=450時，zmax=120×450=54000(元)，

　　即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個書櫥，獲得利潤54000元.

　　(3)設生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元，則

　　0.1x+0.2y≤902x+y≤600x≥0，x∈Ny≥0，x∈Nx+2y≤900，2x+y≤600，x≥0，y≥0，且x∈N，y∈N.

　　目標函數(shù)為z= 80x+120y.

　　在直角坐標平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域 ，即可行域(圖略).

　　作直線l∶80x+120y=0，即直線l∶2x+3y=0(圖略).

　　把直線l向右上方平移，當直線經(jīng)過可行域上的直線x+2y=900,2x+y=600的交點時，此時z=80x+120y取得最大值.

　　由x+2y=9002x+y=600解得交點的坐標為(100,400).

　　所以當x=100，y=400時，

　　zmax=80×100+120×400=56000(元).

　　因此，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400個，可使所獲利潤最大.

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