關于第二屆華杯賽決賽第一試的試題答案

　　決賽第一試試題與解答

　　圖55的30個格子中各有一個數(shù)字，最上面一橫行和最左面一豎列的數(shù)字已經(jīng)填好，其余每個格子中的數(shù)字等于同一橫行最左面數(shù)字與同一豎到最上面數(shù)字之和(例如a=14+17=31)。問這30個數(shù)字的總和等于多少?

　　[解法]從題目的填數(shù)規(guī)則，我們知道，與12同一行的六個格子中都有12這個數(shù)，因此總和數(shù)中有六個12相加。與14同一行的六個格子中都有14這個數(shù)，所以總和數(shù)中有六個14這個數(shù)。同樣，與16同一行，與18同一行的格子中，分別都有六個16，六個18，也就是說，從行看總和中有六個12，六個14，六個16，六個18.它們的和是6×(12+14+16+18)

　　再從列看，與11同一列的五個格子中都有11這個數(shù)。所以在總和數(shù)中有五個11這個救。同樣分析，總和數(shù)中有五個13，五個15，五個17，五個19，它們之和是：

　　5×(11+13+15+17+19)

　　方格子中還有一個數(shù)10，此外，沒有別的數(shù)了。所以總和數(shù)=6×(12+14+16+18)+5×(11+13+17+19)+10

　　=745

　　第二屆華杯賽決賽第一試試題答案：[分析與討論]這道題，有的同學按填數(shù)規(guī)則把每個格于上的數(shù)都填出來，然后用硬加的辦法求出總和數(shù)。這樣做法個可取，因為如果行數(shù)列數(shù)很大時，這樣做的計算最大，硬加就很困難。因此應該采用巧算法。本題還有其它的巧算法，這里就不再敘述了。

　　另外需要提醒的是，不少問學思路是正確的，但忘了加10這個數(shù)。同學們不要輕視這種疏忽。

　　本題求一些數(shù)的和，在表現(xiàn)形式上是有新意的，平時同學們常做的求和問題，多數(shù)是求一串數(shù)的和，而本題是求一個表上所有數(shù)字之和。這種填著數(shù)的表格在工農(nóng)業(yè)和科學試驗上是常用的。

　　平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時高是14厘米(圖57);以CD為底時高是16厘米。求：平行四邊形ABCD的面積。

　　[解法]平行四邊形的面積=底×高

　　所以，平行四邊形ABCD的面積S=BC×14，

　　同樣S=CD×16，也就是CD=S。

　　所以BC+CD=S+S

　　=(+)×S

　　這就是×75=(+)×S

　　S=280(平方厘米)

　　答：平行四邊形ABCD的面積是280平方厘米。

　　[分析與討論]本題是求面積問題，解法很多。問學們可以試試其它解法再和上面的解法比較一下，看看哪種方法最簡便?

　　同一個問題，可以從不同角把它看成不同的數(shù)學問題，比如本題可以看成求面積問題，也可以看成“工程問題。這種能力的培養(yǎng)也是非常重要的。

　　一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時間之比次依是4∶5∶6。已知他上坡時速度為每小時3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時間?

　　[解法]

　　上坡時間是(上坡路程)÷(上坡的速度)

　　=50×÷3=(小時)

　　上坡時間占全程時間的所以，全程時間

　　=(小時)

　　==(小時)

　　答：此人走完全程共用了小時。

　　[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學算術課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚部分與整體的關系。在進一步學習過程中，同學們會不斷得到有關知識與技能。

　　小玲有兩種不同形狀的紙板。一種是正方形的，一種是長方形的(圖58)。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒(圖59)。正好將紙板用完，在小玲所做的紙盒中、豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少?

　　[解法1]設豎式盒總數(shù)：橫式盒總數(shù)=X∶1

　　長方形紙板數(shù)量=(4X+3)×(橫式盒的總數(shù));正方形紙板數(shù)量=(X+2)×(橫式盒的總數(shù))。所以4X+3=2×(X+2)

　　X=答：豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。

　　[解法2]如果把無蓋紙盒都加上了蓋子。那么，無論盒是豎式的還是橫式的，在加蓋以后都用了兩塊正方形紙板四塊長方形紙板。因此，加蓋以后所用的`正方形紙板總數(shù)長方形紙板總數(shù)之比是2∶4=1∶2。而在加蓋以前所用正方形紙板總數(shù)與長方形紙板總數(shù)之比恰好也是1∶2。由此可見，所加的蓋子中正方形的比是1∶2，因為豎式的蓋子是正方形的，而橫式盒的蓋子是長方形的。所以在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。

　　[分析與討論]注意，“解法2”是對于比數(shù)是1∶2這個特定條件下的一種特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶3，那么答案就是3∶1。

　　請同學們算一算，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是N∶M，那么答案是什么?請自己分析討論一下。

　　在工業(yè)生產(chǎn)中，常常遇到這樣一類問題，原材料的來源是按一定的配比給定了，要用這些材料生產(chǎn)各種類型的產(chǎn)品。這時有最佳安排問題。安排不好就會造成材料的浪費。學了小學的數(shù)學知識就可以解決一些這類問題中最簡單的問題。

　　在一根長木棍上，有三種刻度線、第一種刻度線將木棍分成十等份;第二種將木棍分成十二等份;第三仲將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度先將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?

　　[解法]求出(10，12，15)的最小公倍數(shù)，它是60。把這根木棍的10等分的每等分長6個單位。12等分的每等分長5單位;15等分的每等分長4單位。

　　不計木的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9，11，14(相應于10，12，15等分)，共計34個。

　　由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等分的內(nèi)分點在30單位處處相重，必須從34中減。

　　又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等分的內(nèi)分點在20童位和40童位兩個相重，必須再減去2。

　　同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等分的內(nèi)分點在12，24，26;48童位處相重，必須再減去4。

　　由于這些相重點，各不相同，所以從34個內(nèi)分點中減去1，再減去2，再減去4，得27小刻度點，沿這些刻度點把木棍鋸成28段。

　　答：木棍總共被鋸成28段。

　　[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數(shù)，分析起來不如這里父段。

　　[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數(shù)，分析起來不如這里給出的解法清楚，因此計數(shù)多有錯。也有一些同學列出全部等分點，計算繁瑣，也未必能做對，所以巧算是很重要的。

　　已知：

　　a=問：a的整數(shù)部分是多少?

　　[解法]

　　a=====現(xiàn)在我們來看a的第二項的分母，一方面

　　11×65+12×66+13×67+14×68+15×69<11×69+12×69+13×

　　69+14×69+15×69

　　另一方面

　　11×65+12×66+13×67+14×68+15×69>11×65+12×65+13×65+14×65+15×65

　　由于一個正的分數(shù)，分母變小分數(shù)變大，分母變大分數(shù)變小。所以

　　<

　　即<同樣分析可得，

　　>也就是

　　<<100+<100+×

　　100<100+100+

　　答：a的整數(shù)部分是101。

　　[分析與討論]這是一道估值問題。估值問題不論在純數(shù)學上還是在應用數(shù)學上都很重要。

　　估值問題在小學生中很少受到訓練。但同學們在日常生活中，經(jīng)常會遇到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當然直接計算的方法是不可取的。在小學生中，適當增加一點這方面的訓練，是有好處的。

　　圖60算式中，所有分母都是四位數(shù)。請在每個方格中各填入一個數(shù)字，使等式成立。

　　圖60

　　[解法]本題中，三個分數(shù)的分母都是四位數(shù)、不能立刻看出結(jié)果，因此有必要將問題先簡化一下。

　　我們知道，如果將三個分數(shù)的分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，等式照樣成立。這就啟發(fā)我們一種化簡的方法，使分母盡量變得簡單。

　　自然的想法是將1988這個數(shù)做質(zhì)因數(shù)分解。通過試除知道1988的質(zhì)因數(shù)分解為：

　　1988=2×2×7×71。

　　這樣，根據(jù)上面的分析，可以先用1988的約數(shù)來代替1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當?shù)谋稊?shù)，檢查一個是否都是四位數(shù)就行了

　　例如：1988的質(zhì)因數(shù)分解中有的數(shù)4，很容易看出：

　　由于1988=2×2×7×71=4×497，所以，將上面等式的兩邊均乘上，就得

　　，即

　　這樣就給出了一組適合條件的解。

　　再如，

　　1988=2×2×7×71

　　=(2×7)×(2×71)

　　=14×142

　　而且有

　　，兩邊同乘以，就得

　　即這就給出了另一組解。

　　[分析和討論]我們在解題中只給出了二組不同的解，而且在找解時多少帶有一點試探的意味。這是因為要限于小學教村的內(nèi)容，而且也為了使同學們對如何簡化問題的技巧有一點體會。

　　這道題有多少組不同的解呢?是不是還有更一般的方法?下面就來討論。因為，要涉及到較深一點的知識，同學們?nèi)绻�現(xiàn)在看不懂，可以留到以后再看。

　　為敘述方便，個妨將問題重寫出來設X，Y為兩個四位數(shù)，并適合

　　(1)

　　問：X，Y各為多少?

　　解：從(1)式可以看出，<，也就是說Y<1988。令u=1988-y根據(jù)題意，y是四位數(shù)，即y>1000，由此可知：

　　和U代換(1)式中的Y，我們有

　　(3)

　　因此

　　(4)

　　亦即

　　XU=(1988-U)1988=19882-988U(5)

　　從(5)式可以得到

　　19882=XU+1988U=(X+1988)U(6)

　　也就是說，

　　(7)

　　其中，S為4位數(shù)，U是適合條件(2)的整數(shù)。

　　由于(7)式左方是整數(shù)，因此U必須是19882的因子。

　　更進一步，按題設X是四位數(shù)，亦即X≤9999。所以從(7)式可知

　　=X+1988≤11987 (8)

　　即

　　U≥>329.5 (9)

　　再結(jié)合(2)式，我們有

　　330

　　這樣，整個問題就化為求19882中適合條件(10)的因數(shù)有多少個?

　　容易看出：1988有質(zhì)因素分解

　　1988=22×7×71(11)

　　因此，19882=24×72×712。其中有哪些因數(shù)適合條件(10)呢?經(jīng)過檢查可知有如下4個因素：

　　71×7，71×23，72×23，72×24

　　用這4個數(shù)分別代入(7)式和Y=1988-U，就可以得到四組解如下：(1)X=5964，Y=1491;

　　(Ⅱ)X=4970，Y=1420;

　　(Ⅲ)X=8094，Y=1596;

　　(Ⅳ)X=3053，Y=1204。

　　最后，我們要給出解的一般公式，以供參考。

　　設X，Y，Z為三個自然數(shù)，適合

　　(12)

　　求X，Y，Z的一般形式

　　[解]由(12)式可知：

　　<，< (13)

　　因此，X>Z，Y>Z，由此不妨設

　　X=Z+U，Y=Z+V(14)

　　其中U>0，V>0.

　　將(14)式代入到(12)式中，我們有

　　= (15)

　　即(2Z+U+V)Z=(Z+U)(Z+V)=Z2+ZU+ZV+UV(16)

　　化簡后可得：

　　Z2=UV(17)

　　設U和V有最大公約數(shù)為T，則

　　U=U1·T，V=V1.T(18)

　　其中U1和V1互質(zhì)。

　　將(16)式代入到(17)式中，可以得到

　　Z=Z1T(19)

　　而Z1，U1，V1適合方程

　　(20)

　　因為U1和V1互質(zhì)，即只有公因數(shù)1，從(20)可知U1和V1均為平方數(shù)，也就說，一般解為

　　，， (21)

　　將(21)式代入到(14)式中，我們有一般解：

　　X=R(R+S)T

　　Y=S(R+S)T(22)

　　Z=R·S·T

　　其中R，S，T均為自然數(shù)。

　　有興趣的同學不妨用一般公式試試求本題的解。

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