華杯賽的試題及解答
試題：
1.計(jì)算:2.00×2.0
(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
2.水池裝有一個(gè)水管和若干每小時(shí)注水量相同的注水管，注水管注水時(shí)，排水管同時(shí)排水.若用12個(gè)注水管注水，8小時(shí)可注滿水池;若用9個(gè)注水管注水，24小時(shí)可注滿水池.現(xiàn)在用8個(gè)注水管注水，那么需要多少小時(shí)注滿水池?
3.在操場(chǎng)上做游戲，上午8：00從A地出發(fā)，勻速地行走，每走5分鐘就折轉(zhuǎn)90o。問：
(1)上午9：20能否恰好回到原處?
(2)上午9：10能否恰好回到原處?
如果能，請(qǐng)說明理由，并設(shè)計(jì)一條路線.如果不能，請(qǐng)說明理由。
4.1到100所有自然數(shù)中與100互質(zhì)各數(shù)之和是多少?
5.老王和老張各有5角和8角的郵票若干張，沒有其它面值的郵票，但是他們郵票的總張數(shù)一樣多.老王的5角郵票的張數(shù)與8角郵票張數(shù)相同，老張的5角郵票的金額等于8角郵票的金額.用他們的郵票共同支付110元的郵資足夠有余，但不夠支付160元的郵資.問他們各有8角郵票多少張?
6.在下面一列數(shù)中，從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都比它前面相鄰的數(shù)大7，8，15，22，29，36，43，……。
它們前n-1個(gè)數(shù)相乘的積的末尾0的個(gè)數(shù)比前n個(gè)數(shù)相乘的積的'末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，求n的最小值.
解答：
1.答：2.00×2.0
原式=
2.解:設(shè)單開水管需x小時(shí)將滿池水排完,單開一個(gè)注水管需要y小時(shí),則可知排水管每小時(shí)排整池水的,
注水管每小時(shí)注水,可知有
即為……………………………①
同時(shí)由2小時(shí)用9個(gè)注水管注滿水知
即為……………………………②
將①-②得可知
代入①中得
所以用8個(gè)注水管注水每小時(shí)注水
故需用時(shí)(小時(shí))
答:用8個(gè)注水管注水,需要72小時(shí)注滿水池.
3.答:(1)上午9:20分恰好回到原地.我們可以設(shè)計(jì)如下的路線:我們?nèi)魶]定每走5分鐘都按順時(shí)針方向(或逆時(shí)針方向)折轉(zhuǎn)90°,則可知每過20分鐘回到原處,而到9:20恰好過了80分鐘,故可知9:20恰好第4次回原處.
(2)上午9:10不能回到原地.因?yàn)榈缴衔?:10共走了70分鐘,而我們可以驗(yàn)證不管每一步為逆時(shí)針折轉(zhuǎn)90°,還是順時(shí)針折轉(zhuǎn)90°都不能在70分鐘內(nèi)回原地.
4.解:我們可以先去考慮到100的所有自然數(shù)中與100不可質(zhì)的數(shù),因?yàn)?00=2×2×5×5,故1到100中所有含因子2或5的數(shù)都與100不互質(zhì).其中含因子2的有2,4,6,8…，100(即為50個(gè)數(shù)),含因子5的有5，10，15，20…，100但其中10，20，30，…100已經(jīng)包括在上面內(nèi),故與100不互質(zhì)的1到100之內(nèi)的數(shù)為:2，4，6，…100，5，15，25，…95。
這些數(shù)的和為：2+4+6+…+100+5+15+25+…+95=
而1到100的自然而然數(shù)和為：
所以與100互質(zhì)的自然數(shù)之和為：5050-3050=2000。
答:1到100所有自然數(shù)中與100互質(zhì)各數(shù)之和為2000.
5.解:設(shè)老王有8角郵票x張,老張有8角郵票y張,可知老王的5角郵票也有x張,故該總張數(shù)為2x張,則老張的5角郵票為張.
由老張5角郵票金額等于8角郵票金額知
即為……………………………①
又由他們可共同支付110元到160元之間的郵資知
……………………………②
將①代入②中得
同時(shí)又由為整數(shù)知x為13的整數(shù)
結(jié)合上述兩個(gè)條件知,又由①知
答:老王共有52張8角郵票,老張有40張8角郵票。
6.解:觀察這列數(shù)可知每個(gè)數(shù)除以7余數(shù)為1,由題意知若使n最小,則第n個(gè)數(shù)必須含有3個(gè)5的因子,這樣由5的因子數(shù)少于2因子數(shù)知前n個(gè)相乘方會(huì)比前n-1個(gè)多3個(gè)0。所以第n個(gè)數(shù)可寫成的形式,即為(k為自然數(shù))且125k除以7余數(shù)為1,這樣最小的k值為6。即第n個(gè)數(shù)為.此時(shí)再根據(jù)第n個(gè)數(shù)又可表示為知可得
答:n的最小值為107。
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