數(shù)列公式

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數(shù)列公式大全

數(shù)列公式大全1

　　以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》說課稿，僅供參考。

　　教學(xué)目標(biāo)

　　A、知識目標(biāo)：

　　掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。

　　B、能力目標(biāo)：

　　(1)通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

　　(2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。

　　(3)通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

　　C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價值)

　　(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

　　(2)通過公式的運(yùn)用，樹立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識。

　　(3)通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。

　　教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。

　　教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。

　　教學(xué)方法：啟發(fā)、討論、引導(dǎo)式。

　　教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

　　教學(xué)過程

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。

　　師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級時，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少?"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問題縮小十倍)。我們來看這樣一道一例題。

　　例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

　　這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。

　　生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

　　生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

　　上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

　　10個

　　所以我們得到S=55，

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

　　師：高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。

　　理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢?

　　生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

　　二、教授新課(嘗試推導(dǎo))

　　師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請一位學(xué)生板演。

　　生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

　　Sn=an+an-1+......a2+a1

　　兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

　　n個

　　=n(a1+an)

　　所以Sn=

　　#FormatImgID_0#

　　(I)

　　師：好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

　　Sn=na1+

　　#FormatImgID_1#

　　d(II) 上面(I)、(II)兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=

　　#FormatImgID_2#

　　=na1+

　　#FormatImgID_3#

　　d];這些量中有幾個可自由變化?(三個)從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。

　　三、公式的`應(yīng)用(通過實(shí)例演練，形成技能)。

　　1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識公式)例2、計算：

　　(1)1+2+3+......+n

　　(2)1+3+5+......+(2n-1)

　　(3)2+4+6+......+2n

　　(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　請同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請一位同學(xué)回答。

　　生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得

　　(1)1+2+3+......+n=

　　#FormatImgID_4#

　　(2)1+3+5+......+(2n-1)=

　　#FormatImgID_5#

　　(3)2+4+6+......+2n=

　　#FormatImgID_6#

　　=n(n+1)

　　師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。

　　生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　=n2-n(n+1)=-n

　　生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：

　　原式=-1-1-......-1=-n

　　n個

　　師：很好!在解題時我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會引起錯解。

　　例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

　　生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

　　又∵d=-2，∴a1=6

　　∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

　　生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4

　　a8+a9+a10=75，a1+8d=25

　　解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+

　　#FormatImgID_7#

　　=145

　　師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量(知三求二)，請同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。

　　師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)

　　①數(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

　　②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。

　　2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識Sn公式。

　　例4，在等差數(shù)列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)

　　師：來看第(1)小題，寫出的計算公式S16=

　　#FormatImgID_8#

　　=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?

　　生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

　　師：對!(簡單小結(jié))這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問題的體現(xiàn)。

　　師：由于時間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來認(rèn)識Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。

　　最后請大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：

　　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=

　　#FormatImgID_9#

　　。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

　　四、小結(jié)與作業(yè)。

　　師：接下來請同學(xué)們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

　　生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

　　2、用所推導(dǎo)的兩個公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運(yùn)用。

　　生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。

　　2、具體用Sn公式時，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。

　　3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

　　師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時希望大家在學(xué)習(xí)中做一個有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動積極地去學(xué)習(xí)。

　　本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

　　數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

數(shù)列公式大全2

　　等差數(shù)列

　　對于一個數(shù)列{a n }，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差,記為 d ;從第一項(xiàng) a 1 到第n項(xiàng) a n 的總和，記為 S n 。

　　那么，通項(xiàng)公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：

　　將以上 n-1 個式子相加，便會接連消去很多相關(guān)的項(xiàng) ，最終等式左邊余下a n ,而右邊則余下 a1和 n-1 個d,如此便得到上述通項(xiàng)公式。

　　此外，數(shù)列前 n 項(xiàng)的和，其具體推導(dǎo)方式較簡單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再復(fù)述。

　　值得說明的是，，也即，前n項(xiàng)的和Sn 除以 n 后，便得到一個以a 1 為首項(xiàng)，以 d /2 為公差的新數(shù)列，利用這一特點(diǎn)可以使很多涉及Sn 的數(shù)列問題迎刃而解。

　　等比數(shù)列

　　對于一個數(shù)列 {a n }，如果任意相鄰兩項(xiàng)之商(即二者的比)為一個常數(shù)，那么該數(shù)列為等比數(shù)列，且稱這一定值商為公比 q ;從第一項(xiàng) a 1 到第n項(xiàng) a n 的總和，記為 T n 。

　　那么，通項(xiàng)公式為(即a1 乘以q 的 (n-1)次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的.思想：

　　a 2 = a 1 *q,

　　a 3 = a 2 *q,

　　a 4 = a 3 *q,

　　````````

　　a n = a n-1 *q,

　　將以上(n-1)項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后，左邊余下a n , 右邊余下 a1 和(n-1)個q的乘積，也即得到了所述通項(xiàng)公式。

　　此外，當(dāng)q=1時該數(shù)列的前n項(xiàng)和 Tn=a1*n

　　當(dāng)q≠1時該數(shù)列前n 項(xiàng)的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

數(shù)列公式大全3

　　在高一（5）班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后，通過和學(xué)生的互動，我對求和公式上課時遇到的幾點(diǎn)問題提出了一點(diǎn)思考：

　　一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計

　　1、“數(shù)列前n項(xiàng)的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個概念，教材在這里提出這個概念只是因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項(xiàng)和的問題。因此，教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個概念，以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個概念。

　　2、等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)過程，從“掌握公式”來解釋，應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運(yùn)用公式解決問題。其實(shí)還不止這些，讓學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求，這一點(diǎn)后面再作展開。本節(jié)課在這方面有設(shè)計、有突破，但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分，因?yàn)檫@個層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”。

　　3、用公式解決問題的內(nèi)容很豐富。本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列，求前n項(xiàng)”的問題，使課堂不被大量的變式問題所困擾，而能專心將教學(xué)的重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)過程。這樣的處理比較恰當(dāng)。

　　二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法

　　在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想方法，另一種是從一般到特殊的化歸思想方法。

　　從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本節(jié)課基本按教材的設(shè)計，依次解決幾個問題。

　　從一般到特殊的化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處。以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對為什么要這樣做的思考。同樣是求和，與的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實(shí)上，前者是100個不相同的數(shù)求和，后者是50個相同數(shù)的求和，求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個還是50個，而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”。相同的數(shù)求和是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將不“相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓。不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn)。

　　在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，其實(shí)有這樣一個問題鏈：

　　為什么要對和式分組配對？（因?yàn)橄朕D(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）

　　為什么要“倒序相加”？（因?yàn)榭梢员苊忭?xiàng)數(shù)奇偶性討論）

　　為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因?yàn)榈炔顢?shù)列性質(zhì)）

　　由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的根本原因。

　　三、幾點(diǎn)看法

　　1、注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵

　　對待概念、公式等內(nèi)容，如果只停留在知識自身層面，那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地。其實(shí)越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗(yàn)，當(dāng)然這樣的課不好上。

　　2、用好教材

　　現(xiàn)在的.教材有不少好的教學(xué)設(shè)計，需要教師認(rèn)真對待，反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖。當(dāng)然，由于教材的客觀局限性，還需要教師去處理教材。譬如本節(jié)課，課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計，但面對教材所給的全部內(nèi)容時，課堂能否在某個環(huán)節(jié)上停下來，能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容，而將其他的內(nèi)容留到后面的課，這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平。

　　3、學(xué)無止境

　　一堂課所要追求的教學(xué)價值當(dāng)然是盡量能多一些更好，但應(yīng)分清主次。譬如本節(jié)課還用了幾個“實(shí)際生活問題”，意圖是明顯的，教師的提問和處理也比較恰當(dāng)。課沒有最好只有更好！

數(shù)列公式大全4

　　公式

　　Sn=(a1+an)n/2

　　Sn=na1+n(n-1)d/2; （d為公差）

　　Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)

　　和為 Sn

　　首項(xiàng) a1

　　末項(xiàng) an

　　公差d

　　項(xiàng)數(shù)n

　　通項(xiàng)

　　首項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)

　　末項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)

　　末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差

　　項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）（除以）/ 公差+1

　　公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1

　　d=an-a

　　性質(zhì)：

　　若 m、n、p、q∈N

　　①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq

　　②若m+n=2q，則am+an=2aq

　　注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項(xiàng)。

數(shù)列公式大全5

　　新課程理念倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計必須“以學(xué)生的學(xué)為本”，“以學(xué)生的發(fā)展為本”，即數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計應(yīng)當(dāng)是人的發(fā)展的“學(xué)程”設(shè)計，而不單純以學(xué)科為中心的“教程”的設(shè)計。

　　一、教學(xué)目標(biāo)的反思

　　本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計意圖：

　　1。進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善

　　這是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的第一課時，是實(shí)踐二期課改中研究型學(xué)習(xí)問題的很好材料，可以落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“提倡積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式;強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的理念，教與學(xué)的重心不只是獲取知識，而是轉(zhuǎn)到學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)上，教師注意培養(yǎng)學(xué)生以研究的態(tài)度和方式去認(rèn)真觀察、分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，提出新的問題，發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生自覺探索，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

　　2。落實(shí)二期課改中的.三維目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)探究的過程和方法

　　“知識與技能、過程與方法、情感，態(tài)度與價值”這三維目標(biāo)是“以學(xué)生的發(fā)展為本”的教育理念在二期課改中的具體體現(xiàn)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)公式教學(xué)課，所以強(qiáng)調(diào)學(xué)生對認(rèn)知過程的經(jīng)歷和體驗(yàn)，重視對實(shí)際問題的理解和應(yīng)用推廣，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對探究過程和方法的掌握，探究過程包括發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過觀察、抽象、概括、類比、歸納等探究方法進(jìn)行實(shí)踐。

　　在此基礎(chǔ)上，根據(jù)本班學(xué)生是區(qū)重點(diǎn)學(xué)校學(xué)生，學(xué)習(xí)勤懇，平時好提問，敢于交流與表達(dá)自己想法，故本節(jié)課制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

　　（l）、通過歷史典故引出等比數(shù)列求和問題，并在問題解決的過程中自主探索等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的求法。

　　（2）、經(jīng)歷等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，了解推導(dǎo)公式所用的方法，掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。

　　二、教材的分析和反思：

　　本節(jié)課是《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》的第一課時，之前學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的基本概念、等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對于本節(jié)課所需的知識點(diǎn)和探究方法都有了一定的儲備，新教材內(nèi)容是給出了情景問題：印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者的故事，通過求棋盤上的麥粒總數(shù)這個問題的解決，體會由多到少的錯位相減法的數(shù)學(xué)思想，并將其類比推廣到一般的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，最后通過一些例題幫助學(xué)生鞏固與掌

數(shù)列公式大全6

　　等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程：

　　設(shè)首項(xiàng)為a1 ,末項(xiàng)為an ,項(xiàng)數(shù)為n ,公差為d ,前n項(xiàng)和為Sn ,則有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d為公差)

　　當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù)的圖象上一群孤立的點(diǎn)。利用其幾何意義可求前n項(xiàng)和Sn的最值。

　　注意：公式一二三事實(shí)上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。

　　求和推導(dǎo)證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①

　　Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②

　　①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時)

　　Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2

　　Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的`數(shù)都是一個定值，即(A1+An)

　　拓展閱讀：等比數(shù)列的五個基本公式

　　(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：

　　An=A1×q^(n-1)

　　若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。

　　(2)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：

　　a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當(dāng)q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當(dāng)q=1時，Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

數(shù)列公式大全7

　　等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d

　　a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)的`通項(xiàng)公式，d為公差

　　前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2

　　Sn=(a1+an)n/2

　　若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq

　　若m+n=2p則：am+an=2ap

　　以上n.m.p.q均為正整數(shù)

　　文字翻譯

　　第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差

　　前n項(xiàng)的和Sn=首項(xiàng)×n+項(xiàng)數(shù)(項(xiàng)數(shù)-1）公差/2

　　公差d=(an-a1)÷（n-1）

　　項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1

　　數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時，前n項(xiàng)的和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)

　　數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，求首尾項(xiàng)相加，用它的和除以2

　　等差中項(xiàng)公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列

　　通項(xiàng)公式

　　公差×項(xiàng)數(shù)+首項(xiàng)-公差

數(shù)列公式大全8

　　數(shù)列的基本概念等差數(shù)列

　　(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n)

　　(2)數(shù)列的遞推公式

　　(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系

　　an+1-an=d

　　an=a1+(n-1)d

　　a，A，b成等差 2A=a+b

　　m+n=k+l am+an=ak+al

　　等比數(shù)列常用求和公式

　　an=a1qn_1

　　a，G，b成等比 G2=ab

　　m+n=k+l aman=akal

　　不等式

　　不等式的.基本性質(zhì) 重要不等式

　　a>b b

　　a>b，b>c a>c

　　a>b a+c>b+c

　　a+b>c a>c-b

　　a>b，c>d a+c>b+d

　　a>b，c>0 ac>bc

　　a>b，c<0 ac

　　a>b>0，c>d>0 ac

　　a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)

　　a>b>0 > (n∈Z，n>1)

　　(a-b)2≥0

　　a，b∈R a2+b2≥2ab

　　|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|

　　證明不等式的基本方法

　　比較法

　　(1)要證明不等式a>b(或a

　　a-b>0(或a-b<0=即可

　　(2)若b>0，要證a>b，只需證明，

　　要證a

　　綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式(由因?qū)Ч?的方法。

　　分析法分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時為止，明顯地表現(xiàn)出“持果索因”

數(shù)列公式大全9

　　等比數(shù)列求和公式

　　q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

　　q=1時，Sn=na1

　　(a1為首項(xiàng),an為第n項(xiàng),d為公差,q為等比)

　　這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。注：q=1時，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的計算出該數(shù)列的'和。

　　等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

　　Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　a(n+1)=a1qn

　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

數(shù)列公式大全10

　　1、愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”新課程的教材比以前有了更多的背景足以說明。本節(jié)也以國際象棋的故事為引例來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然而卻在求和公式的證明中以“我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘…”一筆帶過，這個“發(fā)現(xiàn)”卻不是普通學(xué)生能做到的，他們只能驚嘆于解法的神奇，而求知欲卻會因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的數(shù)學(xué)文化背景下進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野，使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及形成更為自然，更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征，是每一位教師研討新教材的重要切入點(diǎn)。

　　2、“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。”“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈。”這些都是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對教材編寫的建議，更是對課堂教學(xué)實(shí)踐的要求。然而，在新課程的教學(xué)中，“穿新鞋走老路”仍是常見的現(xiàn)狀，“重結(jié)果的應(yīng)用，輕過程的探究”或者是應(yīng)試教育遺留的禍根，卻更與教材的編寫，教師對《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材研究的深淺有關(guān)，更與課堂教學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)。我們也曾留足時間讓學(xué)生思考，卻沒有人能“發(fā)現(xiàn)”用“公比乘以①的兩邊”，設(shè)計“從特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到，也是對教學(xué)的'不斷實(shí)踐與探索的成果。因此，新課程教材留給教師更多發(fā)展的空間，每位教師有責(zé)任也應(yīng)當(dāng)深刻理會《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，認(rèn)真鉆研教材，促進(jìn)《標(biāo)準(zhǔn)》及教材更加符合學(xué)生的實(shí)際。

　　3、先看文[1]由學(xué)生自主探究而獲得的兩種方法：

　　且不說初中教材已經(jīng)把等比定理刪去，學(xué)生能獲得以上兩種方法并不比發(fā)現(xiàn)乘以來得容易，無奈之下，有的教師便用“欣賞”來走馬觀花地讓學(xué)生感受一下，這當(dāng)然更不可取。

　　回到乘比錯位相減法，其實(shí)要獲得方法1并不難：可以用q乘以，那么是否可以在的右邊提出一個q呢？請看：

　　與比較，右邊括號中比少了一項(xiàng)：，則有

　　以上方法僅須教師稍作暗示，學(xué)生都可完成。

　　對于方法2，若去掉分母有，與方法1是一致的。

　　4、在導(dǎo)出公式及證明中值得花這么多時間嗎？或者直接給出公式，介紹證明，可留有更多的時間供學(xué)生練習(xí)，以上過程，教師講的是不是偏多了？

　　如果僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會如何應(yīng)試，誠然以上的過程將不為人所喜歡，因?yàn)榘创诉^程，一節(jié)課也就差不多把公式給證明完，又哪來例題與練習(xí)的時間呢？

　　但是我們要追問：課堂應(yīng)教給學(xué)生什么呢？課堂教學(xué)應(yīng)從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系，挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想，挖掘出基于學(xué)生發(fā)展的知識體系，教學(xué)生學(xué)會思考，讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動。因此，本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究與學(xué)習(xí)，其價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了公式的應(yīng)用。

數(shù)列公式大全11

　　嚴(yán)老師的課堂最大的亮點(diǎn)就是師生互動如行云流水，如春風(fēng)拂面，如魚翔淺底，輕松活潑，而又不乏智慧的光芒，學(xué)生參與熱情高，學(xué)習(xí)氛圍好。這節(jié)課的`教學(xué)重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過對例題及其變式的思考，體會“利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式”的方法（如定義法、累加法、待定系數(shù)法等）和化歸思想。其實(shí)，此類問題既是數(shù)列教學(xué)中的難點(diǎn)問題，也是江蘇高考的熱點(diǎn)問題。總體而言，在嚴(yán)老師的引導(dǎo)下，學(xué)生基本達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，高一學(xué)生能做到這一點(diǎn)已經(jīng)難能可貴了。筆者建議，是不是可以突破例題和練習(xí)的界限，進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計：

　　在數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)和為，根據(jù)下列條件，分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

　　教師一定要敢于放開手讓學(xué)生去思考，去板演，看看他（她）有什么想法，或者有什么困惑，然后再讓學(xué)生進(jìn)行交流，教師要做的就是引導(dǎo)、點(diǎn)評和總結(jié)。學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷和體驗(yàn)之后，對問題的認(rèn)識和理解應(yīng)該會更深刻。另外，對累加法的應(yīng)用，筆者認(rèn)為還是化成差的形式，即“ ”操作起來更方便一些。以上只是個人的一點(diǎn)不成熟的想法，請大家批評指正。

數(shù)列公式大全12

　　一、高中數(shù)列基本公式：

　　1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=

　　2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。

　　3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn=

　　當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0;當(dāng)d=0時(a1≠0)，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k

　　(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)

　　5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的.正比例式);

　　當(dāng)q≠1時，Sn= Sn=

　　二、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　2、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　3、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

　　6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

　　{an bn}、、仍為等比數(shù)列。

　　7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d，a，a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d，a-d，，a+d，a+3d

　　10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q，a，aq;

　　三、個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3，a/q，aq，aq3 (為什么?)

　　11、{an}為等差數(shù)列，則 (c>;0)是等比數(shù)列。

　　12、{bn}(bn>;0)是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>;0且c1) 是等差數(shù)列。

　　13. 在等差數(shù)列中：

　　(1)若項(xiàng)數(shù)為，則

　　(2)若數(shù)為則，，

　　14. 在等比數(shù)列中：

　　(1) 若項(xiàng)數(shù)為，則

　　(2)若數(shù)為則，

數(shù)列公式大全13

　　等比數(shù)列求和公式

　　1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1×q^(n-1);

　　推廣式：an=am×q^(n-m);

　　2.等比數(shù)列求和公式

　　Sn=n×a1(q=1);

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);

　　(q為公比，n為項(xiàng)數(shù))。

　　3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);

　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);

　　(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);

　　(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;

　　(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);

　　(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);

　　(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);

　　(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

　　拓展閱讀：等比數(shù)列的性質(zhì)

　　(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq。

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)若“G是a、b的等比中項(xiàng)”則“G2=ab(G≠0)”。

　　(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an×bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的`對數(shù))成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)。

　　(6)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和。

　　在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中An表示A的n次方。

　　(7)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成an=(a1/q)×qn，它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列。

數(shù)列公式大全14

　　如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。

　　(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。

　　(2) 任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)

　　(3)從等比數(shù)列的'定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當(dāng)q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當(dāng)q=1時， Sn=n×a1(q=1)

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。