高中求最值的方法總結(jié)
三角函數(shù)的最值或相關(guān)量的取值范圍的確定始終是三角函數(shù)中的熱點問題之一。以下是小編整理的高中求最值的方法總結(jié),歡迎大家前來查閱。
高中求最值的方法總結(jié) 篇1
方法一：利用單調(diào)性求最值
學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后，為討論函數(shù)的性質(zhì)開發(fā)了前所未有的前景，這不只局限于基本初等函數(shù)，凡是由幾個或多個基本初等函數(shù)加減乘除而得到的新函數(shù)都可以用導(dǎo)數(shù)作為工具討論函數(shù)單調(diào)性，這需要熟練掌握求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則，以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系，還有利用導(dǎo)數(shù)如何求得函數(shù)的極值與最值。
例1 已知函數(shù)，當(dāng)x∈[-2，2]時，函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：此題屬于恒成立問題，恒成立問題大都轉(zhuǎn)化為最值問題。
解：原問題等價于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價于a 下面利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)的最小值，求導(dǎo)可得g'(x)=x(1-ex)。
當(dāng)x∈[-2，0]時，g'(x)≤0，從而g(x)在[-2，0]上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0，2]時，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也單調(diào)遞減。
所以g(x)在[-2，2]上單調(diào)遞減，從而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)
評注：本題是求參數(shù)的取值范圍問題，利用等價轉(zhuǎn)化的思想可化為不等式恒成立問題，進(jìn)而化為最值問題，再借助于導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出的最值。其實高中階段接觸到的最值問題大都可以運用單調(diào)性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值
掌握和靈活運用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數(shù)最值問題時通常十分便捷，在解題時務(wù)必注意考慮利用不等式求最值的條件限制 。
例2 若x∈R，且0 分析：本題可以運用單調(diào)性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。
解：。
由0 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。
故當(dāng)時，取得最小值9。
例3 求使不等式│x-4│+│x-3│ 分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁;用絕對值不等式的性質(zhì)求解卻十分方便。
解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[3，4]時，等號成立。
所以f(x)min=1，因此的a取值范圍是a∈[1，+∞]。
評注：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發(fā)現(xiàn)“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數(shù)之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個系數(shù)。例4采用了絕對值三角不等式快捷的求出了參數(shù)的取值范圍。
方法三： 數(shù)形結(jié)合法
將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，把代數(shù)的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。
例4 已知實數(shù)x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。
分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(x，y)在圓(x-3)2+(y-3)2=6上，那么表示該點與原點連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點作圓的兩切線OA、OB(A，B為切點)，則的最值分別是直線OA、OB的斜率。
解：設(shè)，即y=kx，∴，
整理為k2-6k+1=0。解得。
高中求最值的方法總結(jié) 篇2
（1）代數(shù)法。
代數(shù)法包括判別式法（主要是應(yīng)用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）④換元法（利用題設(shè)條件，用換元的`方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。
①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應(yīng)用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數(shù)，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。
②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標(biāo)的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當(dāng)其中一些條件不滿足時應(yīng)考慮通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當(dāng)然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達(dá)到目的，具有一定技巧）
④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。
（2）數(shù)形結(jié)合法。
數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來求解。
①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。
②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學(xué)函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。
③構(gòu)造復(fù)數(shù)法：構(gòu)造復(fù)數(shù)法是在已經(jīng)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)章節(jié)的基礎(chǔ)上，把所求結(jié)論與復(fù)數(shù)的相關(guān)知識聯(lián)系起來，充分利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行求解。
④求導(dǎo)法（微分法）：導(dǎo)數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內(nèi)容，求導(dǎo)法求函數(shù)最值是應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問題。找閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）的最大（或最小）值時，將不可導(dǎo)點、穩(wěn)定點及a，b處的函數(shù)值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最小）值。
綜上可知，函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，在解題時要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析和思考，因題而異地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，當(dāng)一題有多種解法時，當(dāng)然應(yīng)該注意選擇最優(yōu)解法。
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